Исследование геометрических и динамических свойств самоподобных кластеров

• Автор: Алехин, Александр Павлович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 100 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность
Цель работы
Научная новизна результатов заключается в следующем
Научно-практическая значимость полученных результатов
Апробация работы
Основные публикации автора по теме диссертации
Структура и объем диссертации
ГЛАВА 1. ФРАКТАЛЫ И ДРОБНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ
1Л. Основные понятия
1.2. Размерность фрактального множества
1.3. Размерность кластеров
1.4. Мультифракталы и спектр фрактальных размерностей
1.4.1. Обобщенные размерности Ренъи
1.4.2. Фрактальная и информационная размерности
1.4.3. Корреляционная размерность
1.4.4. Функция мультифракталъного спектра
1.4.5. Свойства функцииf(a)
ГЛАВА 2. КВАЗИФРАКТАЛЫ
2.1. Определение квазифракталов
2.2. Применение квазифрактальной гипотезы к анализу модельных
неупорядоченных систем
2.2.1. Методы параметризации соотношения «число частиц - радиус»
2.2.2. Модели роста кластеров
2.2.2.1. Модель Виттена-Сандера
2.2.2.2. Модель «случайного дождя»
2.2.2.3. Решеточные модели
2.2.3. Результаты
2.3. Кластеры диполей в двумерной полярной жидкости
2.3.1. Модель роста кластеров
2.3.2. Результаты
2.4. Жесткие кластеры диполей на поверхности твердого тела
2.4.1. Метод параметризации кластеров
2.4.2. Модель роста кластеров
2.4.3. Результаты
ГЛАВА 3. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ ФРАКТАЛЬНЫХ КЛАСТЕРОВ
3.1. Система заряженных концентрических колец
3.2. Система дипольных концентрических колец
3.3. Система модельных дипольных кластеров
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
ВВЕДЕНИЕ
Работа посвящена исследованию геометрических и динамических свойств самоподобных кластеров. Разработанные модели представления (методы параметризации) кластеров позволили применить квазифрактальный подход к их анализу и отыскать параметры, чувствительные к изменению заданных свойств системы, в которой они были выращены. Так же в работе исследована взаимосвязь статистически самоподобного распределения зарядов/диполей на поверхности твердого тела (подложке) с электростатическим потенциалом вблизи нее, и предложен метод нахождения параметров этого распределения по известному электростатическому потенциалу вблизи подложки. Результаты компьютерного моделирования количественно согласуются с аналитическими расчетами.
Актуальность
Физика твердого тела и статистическая физика исследует в основном свойства макроскопических систем, используя т.н. термодинамический предел, предполагающий, что объем V и число частиц N в системе стремятся к бесконечности при постоянной плотности п = А/Е. Такое приближение позволяет найти большинство «объёмных» характеристик системы.
Микроскопические объекты, например, электроны в атоме водорода, описываются законами квантовой механики, к которой состояние частицы характеризуется волновой функцией у/, определяемой из уравнения Шредингера.
Исследование же систем промежуточного размера (такой размер определяют как «мезоскопический» [2]) представляет интерес не только для ответа на вопрос: каким образом достигается термодинамический предел при последовательном увеличении размера системы от молекулы до массивного образца? Существует много явлений, которые присущи только

мезоскопическим системам. Мезоскопические системы в действительности похожи на большие молекулы, но они всегда, по крайней мере, слабо связаны (посредством фононов, многочастичных возбуждений и т.п.) с гораздо большими (по существу - бесконечными) системами. Иногда силу этой связи можно контролировать, и, в идеале, было бы интересно проследить, как меняются различные характеристики системы при последовательном изменении силы связи от случая почти невзаимодействующей (слабокоррелированной) до сильно взаимодействующей (сильно-коррелированной) системы.
Основной трудностью при исследовании таких систем является то, что они содержат слишком большое количество атомов (10б-109), чтобы задачу можно было решить напрямую, используя методы квантовой механики.
Эту проблему обычно обходят, переходя к феноменологическому рассмотрению системы, посредством введения потенциалов взаимодействия между ее структурными единицами и дополнительных предположений об их геометрии. Так, например, предположение о том, что неупорядоченная среда состоит из сильно-коррелированных фрактальных кластеров, слабо взаимодействующих друг с другом, позволило объяснить многие особенности диэлектрических спектров сложных веществ в широком диапазоне частот [3].
Прямые эксперименты и компьютерное моделирование [20-42] показали, что кластеры, образующиеся в процессах агрегации частиц, обычно обладают самоподобной структурой, хотя встречаются и отклонения [17]. В свою очередь, геометрические свойства самоподобных объектов описываются с помощью фрактальной геометрии - отрасли математики, которая стала активно развиваться после фундаментальных работ Бенуа Мандельброта [10-15]. В настоящее время область применения фрактальной геометрии постоянно расширяется [4-8, 58, 62, 66-68]. В рамках этих представлений основным параметром, характеризующим масштабноинвариантные свойства фрактального объекта, является его размерность

системы. Это представление было проверено на различных неупорядоченных системах.
2.1.Определение квазифракталов
В работе [44] было показано, что сумма вида
где Ь,£ - масштабные параметры; с0 - константа; /(г) - функция, которая достаточно быстро стремится к нулю при г, стремящемся к нулю или бесконечности, удовлетворяет функциональному уравнению
Это уравнение переходит в уравнение скейлинга если выражение
Таким свойством самоподобия обладают многие фракталы, в том числе фрактальные кластеры. Из экспериментов и компьютерного моделирования процессов агрегации частиц [20-42, 53] установлено, что число частиц выращенного кластера связано с его радиусом степенным законом
где Я - радиус кластера, Я0 - радиус частиц (мономеров), из которых он состоит.
Это соотношение носит название «число частиц - радиус». Радиус кластера (Я) понимается как радиус наименьшей сферы, содержащей все его частицы. Действительно, рассмотрим два кластера радиусов Я] и Я2 (Я2=%Я1), полученных в одинаковых внешних условиях. Число частиц во втором кластере
ад=Со 2] д/дп,
(2.1)
Д (Д ) = + ДчДяД ) - Ь~‘7(гГ™)

Ьы-'Дг%")-Ь-"Дг£-ы+1)-+0 при Лоо.
5(£г)4ад

(2.2)
(2.3)