Методы математической морфологии, топологической динамики и нейроматематики в физике Солнца

• Автор: Макаренко, Николай Григорьевич
• Шифр специальности: 01.03.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 58 с. : ил.

Введение
Глава
Глава
Глава
Глава
СОДЕРЖАНИЕ
1 Морфологические меры и анализ
1.1 распределенной хаотической динамики. Математическая морфология:
1.2 функционалы Минковского Г омотопические инварианты и
2 топологическая сложность карт. Реконструкция динамики глобального
2.1 магнитного поля Солнца из топологии сечений синоптических карт. Эйлерова характеристика и солнечный
2.2 цикл. Спектральный и вейвлет-анализ
3 временного ряда у. Эмбедология
3.1 Оценки размерности для
3.2 реконструкции динамики глобального магнитного поля. Оценка взаимной связи двух
4 аттракторов. Нейронные сети и прогноз
4.1 Линейный прогноз
4.2 Локальный многомерный прогноз
4.3 Нейронные сети
4.4 Нейропрогноз
4.5 Нейропрогноз Солнечных циклов
Заключение
Список использованных источников
Приложение

ВВЕДЕНИЕ
Подходите к вашим задачам с правильного конца и начинайте с ответов. Тогда в один прекрасный день вы, возможно, найдете правильный вопрос.
Р. ван Гуляк
Традиции линейного моделирования во многом обусловлены догмами классической аналитики, как единственного универсального способа описания наблюдаемых явлений. Основная из догм заключается в утверждении, что все, что может произойти, может быть и “сказано”, т.е. выражено на языке математических символов, законная комбинация которых отображает действительное или возможное состояние процесса. Одним из существенных сторон такого универсального контекста является разделимость явления или переменных, в которых оно описывается и их независимость. Поэтому, основная стратегия в правильном аналитическом "изображении" процесса заключается в поиске такого способа описания (или такой системы отсчета) в которой допускается независимое изменение элементов символической схемы. Это путь на котором часто приходится принимать за истину то, что является только преимуществом, за которые надо платить, отбрасывая, например, "малые" члены в уравнениях или исключая “несущественные” связи. Итогом упомянутых процедур обычно является ответ в форме “приближения линейных мод”. Он стал настолько привычным, что наша вера в представимость сложного, как суперпозиции простых линейных фактов, стала почти канонической. Исследования нелинейных случаев, при рассмотрении систем, имеющих много степеней свободы, сводились обычно либо к уравнениями гиперболического типа, или редуцировались к линейной схеме с малыми возмущениями, в рамках упомянутого приближения.
Основной недостаток аналитического контекста - его избыточность в смысле определений: он не содержит собственных средств, с помощью которых мы могли бы провести различие между действительным и возможным. Чтобы сделать этот подход в полной мере пригодным для практики, следует конечно обратиться к эксперименту. Однако, здесь возникают большие трудности при сравнении решений уравнений с наблюдениями, во первых, потому что переменные, которые входят в уравнения содержат обычно ненаблюдаемые величины, и во вторых, потому что аналитическое

решение часто требует таких упрощений исходных уравнений, после которых они уже непригодны для реальных ситуаций.
Желание не только символически представить наши умозрительные "ожидания" но и объяснить, то что наблюдается, приводит к обратной задаче - восстановление модели непосредственно из наблюдений. Однако в рамках описанного контекста, для ее решения существовало совсем немного технических средств. В лучшем случае они сводились к полуэмпирическому формализму поординатных методов анализа временных рядов. Такие методы не отвечали на главный вопрос: какова природа источника сигнала, поскольку такая модель (периодическая или стохастическая) закладывалась в сам метод. Моделирование в этой ситуации сводится обычно к нахождению свободных параметров какой-либо регрессионной модели. При этом приходится предполагать выполнение некоторых условий (эргодичности, стационарности и конечномерности), которые в большинстве случаев нельзя ни гарантировать ни проверить, оставаясь в рамках самого линейного аппарата/16,17/.
Ситуация коренным образом изменилась за последние двадцать лет, в связи с новыми представлениями о природе нелинейности. Оказалось, что даже в системах детерминированных уравнений с небольшим числом степеней свободы может возникать сложное стохастическое поведение /1,2/. Для этого существенна качественная природа уравнений, а не их размерность или аналитическая форма. Если уравнения таковы, что решения сильно зависят от начальных условий, малые погрешности начальных данных экспоненциально растут в фазовом потоке, и начиная с некоторого момента времени, будущее состояние системы становится ограниченно предсказуемым. Так возникла новая парадигма Динамического (синонимы: диссипативного,
детерминированного) Хаоса. Траектории диссипативной системы заполняют низкоразмерное инвариантное притягивающее подмножество (1аттрактор) в фазовом пространстве, который с точки зрения внешнего наблюдателя ведет себя как информационный процессор, обрабатывающий информацию о начальных данных. Траектории на аттракторе разбегаются в одних (неустойчивых) направлениях и сжимаются в других. Вследствие диссипации, сжатие преобладает и в устойчивых направлениях аттрактор копирует сам себя: сечение фазового потока приобретает самоподобную (странную) структуру канторова множества с дробной размерностью. Информация порождается не только

Таким образом, многослойная схема (Рис.4.4) реализует нелинейное отображение вектора входных переменных - в выходной вектор другой разметности и является универсальным аппроксиматором [50,51], в том смысле, что может равномерно аппроксимировать любую непрерывную функцию в компактной области с произвольной точностью, зависящей от числа М скрытых нейронов.
5і ''ИЛВЧ*
и ууЯ

Средняя квадратическая ошибка отображения:
11 - {ьг}2
где 1/(П - обучающая выборка, является дифференцируемой функцией весов те. Эффективное вычисление градиента Е, для оптимизации весов, достигается методом обратного распространения ошибки.
4.4 НЕЙРОПРОГНОЗ.
Для построения локального многомерного прогноза, на входные нейроны подается вектор х(т-1), (-размерность аттрактора);
выходом служит скаляр х(т + р - 1). Более строго: пусть Кт -> Ят - гладкое отображение со странным аттрактором а, и пусть хп = /‘”(х0)Д < п < с®- типичная последовательность итераций / действующее на а (т.е. предполагается, что а имеет эргодическую натуральную инвариантную меру V, и что х0 - типичная точка V). Обратная задача в этом случае, заключается в построение гладкого отображения С.: Я,п -» Ят в терминах хп , таких, что хп+ =/г00(х„)Д < «< °°. Эта задача имеет, по существу, единственное