Применение симплектических методов в задачах небесной механики

• Автор: Сушко, Наталья Анатольевна
• Шифр специальности: 01.03.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 101 с. : ил.

Оглавление.
Введение
Глава 1. Обзор симплектических методов
Глава 2. Неконсервативные эффекты методов численного интегрирования
2.1. Введение
2.2. Постановка задачи
2.3. Описание примеров
Глава 3. Изучение фазового портрета возмущенной гамильтоновой системы, полученной симплектическим методом
Глава 4. Полиномиальная аппроксимация симплектических отображений
Глава 5. Применение симплектических методов в ограниченной задаче трех тел и задаче п-тел
Заключение
Л итер ату р а

Введение.
Диссертация посвящена методам симплектического интегрирования уравнений движения гамильтоновых динамических систем и применению этих методов в задачах небесной механики.
Моделирование гамильтоновых динамических систем является актуальной задачей как в астрономии так и в других областях науки. Как правило, для моделирования используется тот или иной численный метод, который позволяет интегрировать уравнения движения гамильтоновой системы. Любое моделирование является приближенным решением системы, поэтому выбор метода играет важную роль при построении модели. Кроме того, при построении моделей гамильтоновых систем необходимо помнить о свойствах этих систем — условии симплектичности и сохранении фазового объема, поскольку сохранение этих свойств существенным образом сказывается на фазовом портрете рассматриваемой системы.
Недостатком традиционных численных методов, таких как методы Рунге-Кутты, Рунге-Кутты-Нестрема, Булирша-Штера и др., с помощью которых обычно решаются задачи построения моделей гамильтоновых систем, является нарушение симплектической структуры и свойства сохранения фазового объема гамильтоновых систем в процессе моделирования. Это может привести к полному искажению качественной картины эволюции построенной модели. Поэтому для задач, связанных с интегрированием на очень большие интервалы времени, используются симплектиче-ские методы. Эти методы сохраняют каноничность преобразования координат и импульсов на каждом шаге интегрирования.
На сегодняшний день симплектические методы получили широкое развитие. Эти методы можно разбить на три основных класса: 1) явные схемы симплектических интеграторов типа Иоши-ды; 2) неявные схемы симплектических интеграторов типа Рунге-Кутты и Рунге-Кутты-Нестрема; 3) симплектические отображения.
В связи с развитием компьютерной техники возрос интерес к моделированию эволюции объектов Солнечной системы на миллиарды лет. В рамках задач небесной механики моделируются картины эволюции орбит малых тел, больших планет, изучаются области регулярного движения и хаоса. Для построения таких моделей наиболее часто используется метод симплектических
отображений, предложенный Висдомом. Однако данный метод и все его модификации являются методами осреднения уравнений движения. В диссертационной работе рассматриваются симплек-тические интеграторы явного вида типа Иошиды и возможность их использования в задачах небесной механики.
Целью работы являются:
- изучение влияния неконсервативных эффектов, вносимых несимплектическими методами интегрирования в модель фазового портрета системы;
— изучение топологии фазового портрета системы, полученной симплектическими методами;
— изучение полиномиальной аппроксимации симплектических отображений;
“ применение симплектического метода типа Иошиды для изучения эволюции больших планет и астероидов.
Научная новизна работы состоит в следующем.
1. Получена методика, которая позволяет выявлять неконсервативные эффекты в модели фазового портрета системы, построенного несимплектическими методами моделирования.
2. Предложен метод для анализа топологии фазового портрета системы, полученной симплектическим методом.
3. Найден класс отображений, для которых можно построить полиномиальную симплектическую аппроксимацию.
4. С помощью интегратора Иошиды, реализованного для задачи та-тел и ограниченной задачи трех тел, получена картина эволюции больших планет и астероида Хирон.
Практическая ценность работы состоит в том, что предложенные методы могут применяться для контроля за поведением системы в процессе моделирования численными методами для широкого класса гамильтоновых систем.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих научных конференциях:
1. Всероссийское совещание (с международным участием) ’’Компьютерные методы небесной механики”, С.-Петербург, Ноябрь, 1992;
2. Международная конференция ’'Современные проблемы теоретической астрономии”, С.-Петербург, Июнь, 1994;
3. Международное рабочее совещание ’’Новые компьютерные

-3.14 -1.57 0.00 1

Рис. 2. График точного решения уравнения detJ = 1 для системы маятника.
к6 а3 к2аашг кр
—— соя '
144 V
к2а в'тд
I ! г I сое I И' ) + с об г ] сое д
{к2авт.г кр /к 2азш<7
Н соя
72 у 2 2 / V
.'к'аыпг кр Рк2азтг кр
—2 сое (
к2а ятд
+ г ) сов д + соэ г сое <7+1.
Решение уравнения (5) было получено численно. Графическое представление этого решения изображено на рисунке 2.
Для сравнения уравнение (5) было решено также для ДЛ) где А/,.— первый ненулевой член при степени к ряда Тейлора для определителя А :