Обобщенные решения задач динамики плазмы

• Автор: Гичук, Александр Владимирович
• Шифр специальности: 01.02.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Обнинск
• Количество страниц: 79 с.

Содержание
Введение
1 Современное состояние исследований
2 Общая характеристика работы
3 Определения и обозначения
4 Основное содержание работы
I Глобальная разрешимость задачи Коши для системы, описывающей одномерное течение плазмы
1 Постановка задачи
2 Построение регуляризации
3 Разрешимость в целом регуляризованной задачи
4 О существовании функционального решения исходной задачи
II Глобальная разрешимость одномерной задачи Коши для системы магнитной газодинамики с общими начальными условиями
1 Постановка задачи
2 Построение регуляризации
3 Разрешимость в целом регуляризованной задачи
4 О существовании функционального решения исходной задачи
III Глобальная разрешимость задачи Коши для системы магнитной газодинамики в случае локально адиабатического течения
1 Постановка задачи
2 Регуляризованная задача Коши
3 Разрешимость регуляризованной задачи
4 О существовании функционального решения исходной задачи
Заключение
Используемая литература

Введение
Необходимость исследования проблем движения электропроводящей жидкости, в частности ионизированных газов — плазмы,— возникает при рассмотрении широкого круга задач — от электрического разряда в разреженном газе и распространения электромагнитных волн в ионизированных средах до разнообразных астрофизических проблем [1, 2]. Любой газ, нагретый до температуры порядка 104°/С, будет ионизирован. Его свойства при этом будут существенно отличаться от свойств нейтрального газа, поскольку в плазме главную роль играют электромагнитные силы. Взаимодействие электромагнитных и газодинамических сил обуславливает возникновение многих новых явлений [1]. Остановимся вкратце на некоторых вопросах построения математических моделей динамики плазмы, которые исследуются в настоящей работе.
Рассматриваемые модели представляют собой задачи для систем дифференциальных уравнений, записанных исходя из макроскопической точки зрения. Динамика плазмы, очевидно, включает в себя как частные случаи обычную газодинамику и обычную электродинамику, поэтому естественно ожидать, что соответствующие уравнения будут очень похожи на уравнения обычной газовой динамики, но будут содержать еще члены взаимодействия, обусловленные электромагнитными силами, а также включать в себя уравнения для электромагнитного поля - уравнения Максвелла — либо их следствия. Действительно, в то время как уравнение неразрывности остается таким же, как в газовой динамике, в уравнении движения необходимо учесть электромагнитные силы, а в уравнении энергии, записанном либо для удельной энергии [1, 2], либо для энтропии (уравнения Лундквиста) [1, 3], нужно учесть джоулево тепло. Остальные уравнения являются следствиями уравнений Максвелла. Система замыкается с добавлением уравнений состояния, отражающих зависимость: давления от энтропии и плотности (удельного объема) в случае уравнений Лундквиста, либо давления и внутренней энергии от температуры и плотности (удельного объема).
В общем случае, чтобы иметь возможность изучать задачи о течениях высокотемпературной плазмы, нельзя пренебрегать полем излучения. Полное решение задач динамики плазмы должно состоять в одновременном исследовании газодинамического поля, электромагнитного поля и поля излучения. Обычно [1, 4] предполагается, что излучение определяется газодинамическими и электромагнитными параметрами, т.е. рассматривается как дополнительный фактор на фоне взаимодействия этих полей. Как результат, учет излучения затрагивает лишь уравнения состояния [1, 4], не меняя структуру дифференциальных уравнений. Тем не менее, исследование задач динамики плазмы с такими общими уравнениями состояния в контексте методологии, используемой в настоящей работе, представляется довольно непростой проблемой, в силу чего мы ограничиваемся уравнениями состояния для идеального газа.

Для многих практических задач уравнения динамики плазмы можно упростить таким образом, что задача, по существу, сводится к взаимодействию газодинамических величин и магнитного поля. Строго говоря, такое магнитогазодинамическое приближение будет выполняться при бесконечной электропроводности [1], поскольку тогда в газомагнитной системе не будут образовываться ни объемные заряды, ни сколько-нибудь значительные потенциальные электрические поля [2]. Таким образом, в основных уравнениях динамики плазмы можно пренебречь током смещения и избыточным электрическим зарядом [1, 2, 3]. Это приближение будет использоваться в некоторых моделях, исследуемых в данной работе.
Изучение пространственных течений представляет большие трудности даже в обычной газодинамике. В динамике плазмы эти трудности еще более усугубляются. Поэтому наряду с пространственными широко исследуются и одномерные течения. Помимо возможного практического применения, одномерные задачи позволяют сравнительно просто изучать некоторые особенности нестационарных течений. При переходе к одномерной динамике плазмы предполагается, что течение плазмы параллельно оси единственной пространственной переменной, и вектор скорости, напряженности магнитного поля и напряженности электрического поля (если рассматриваемая модель предполагает его учет) взаимно перпендикулярны [5]. Здесь следует упомянуть еще одну особенность, касающуюся изучения одномерных задач электромагнитной газодинамики. Как и в обычной газодинамике, оказывается удобным осуществить переход от эйлеровых координат к лагранжевым [3]. Поэтому соответствующие системы уравнений будут записаны в лагранжевых массовых координатах [2, 5].
Завершая этот краткий обзор некоторых аспектов моделирования задач динамики плазмы, отметим, что мы будем иметь дело лишь с невязкой нетеплопроводной плазмой. В результате все системы дифференциальных уравнений, исследуемые в настоящей работе, не содержат диссипативных членов и либо имеют форму систем законов сохранения, либо легко к ней приводятся. Все сказанное делает возможным с одной стороны широко использовать аналогии с обычной газодинамикой и, как следствие, наработки в этой области, а с другой — современные теории исследования систем законов сохранения.
§1 Современное состояние исследований
Круг математических моделей, представляющих собой системы законов сохранения, разумеется, не ограничивается лишь обычной и (электро)магнитной газодинамикой. В силу того, что законы сохранения отражают фундаментальные соотношения баланса массы, импульса, энергии и пр., большая часть как моделей механики сплошных сред, так и моделей физической кинетики имеют форму систем законов сохранения, дополненных некоторыми условиями.
Значительную часть исследований подобных задач составляют вопросы корректности. Однако при обосновании разрешимости в целом нередко возникают проблемы, поскольку решение эволюционных задач за конечное время может покидать область определения. С целью преодолеть эти трудности в свое время класс решений был расширен до обобщенных в смысле С.Л.Соболева, а затем до мернозначных реше-

+ °JLM+

J /2ne(t - t)
(*-»r e Mt-r) dy

u2dy

$м,-+с'/ч(/л)1,,+1и+

Выберем (/ = 2(1 — г/), тогда г
к оценке
1 - 2
Теперь с учетом (3.11) и (3.16) приходим
L , , £
г „Л дсО
/ Р dy ) <

w2dy

1 /в

К hi-.).
(3.23)
Отсюда сразу следует оценка скорости в (3.22).
Опираясь на полученные оценки и учитывая (3.23), несложно получить оценку для удельной энергии е. Лемма доказана. □
Доказательство (Теоремы 1). Таким образом, получены оценки в норме С(Щ) решения задачи (2.1)—(2.3), позволяющие продолжить локальное классическое решение задачи (2.1)-(2.3) на весь прямоугольник Щ. Существование и единственность локального решения устанавливается методом последовательных приближений с помощью оценок (3.3) сначала для интегральных уравнений, а затем методом тепловых потенциалов доказывается, что полученное решение — классическое решение задачи (2.1) (2.3) (подробнее см. [19]). Теорема доказана. □
§4 О существовании функционального решения исходной задачи
Установим существование функционального решения задачи (1.1), (1-2).
Теорема 2. Пусть Cv(9) = = const и начальные данные U°(x) удовлетворя-
ют (1-3). Тогда задача Коши (1.1), (1-2) имеет функциональное решение, определенное в полосе Пт любой высоты Т.
Доказательство. Согласно сказанному в §3 Введения, для приближенного метода, определяемого семейством аппроксимаций {U(t,x,a)}, необходимо установить свойства слабой аппроксимации и слабой устойчивости.
Это следующие условия 23.