О некоторых численных алгоритмах решения приближенных и полных уравнений Навье-Стокса

• Автор: Игнатьева, Ирина Викторовна
• Шифр специальности: 01.02.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Чебоксары
• Количество страниц: 114 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава I. Влияние аппроксимационной вязкости на решение уравнения с малым параметром
1.1. Разностная схема экспоненциальной подгонки на
неравномерной сетке для уравнения с малым параметром
1.Построение неравномерной сетки в задачах с
погранслоем
1.3.0 плохой обусловленности разностных уравнений в случае знакопеременного коэффициента при первой
производной
Глава II. Уравнения пограничного слоя с малым
параметром
2.1 .Метод экспоненциальной подгонки для нелинейного уравнения параболического типа с малым параметром
2.2 Конечно-разностные схемы для расчёта уравнений Прандтля
Глава III. Разностная схема экспоненциальной подгонки для решения стационарных задач внутренней гидродинамики
3.1.Уравнения Навье-Стокса в переменных а>и у/. Постановка краевой задачи
3.2.Схема экспоненциальной подгонки для уравнений Навье-Стокса
3.3.Решение уравнения для функции тока у
Приложение
Литература

ВВЕДЕНИЕ
При обтекании тел потоком вязкой жидкости область течения, как правило, имеет две ярко выраженные подобласти - зона пограничного слоя и зона отрывных течений [1-3]. По-видимому, Прандтль впервые обратил на это внимание и сформулировал теорию пограничного слоя. В основе этой теории лежит то, что вблизи границы обтекаемого тела формируется течение, которое математически описывается системой приближённых уравнений Навье-Стокса, которая получила название - уравнения пограничного слоя Прандтля. Характерной особенностью течений газа и жидкости в таких пограничных слоях является то, что в этой подобласти происходит изменение решения от нуля до максимального значения -скорости набегающего на тело потока. Математический аппарат анализа уравнений пограничного слоя Прандтля показал, что они относятся к классу уравнений с малым параметром при старшей производной. Асимптотические методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений с малым параметром достаточно полно изложены в монографиях [4-7]. При численном решении подобного класса уравнений при малых значениях параметра возникают вопросы точности полученных решений, поскольку аппроксимационная вязкость численного метода вносит свои коррективы в исходное решение. В связи с чем возникает необходимость создания численных алгоритмов равномерно сходящихся по малому параметру [8]. Такие численные методы предельно эффективны в том смысле, что они имеют хорошие свойства сходимости не только для малых, но и для средних и больших значений параметров, и, следовательно, могут служить полезным дополнением к пакетам стандартных программ решения дифференциальных уравнений. Равномерные численные методы
обладают двумя важными свойствами: применимостью на грубой сетке и сходимостью алгоритмов без специальных требований к величине шага сетки. В этом состоит их принципиальное отличие от многих других классических методов, требующих достаточного измельчения сетки. В настоящее время созданию и обоснованию таких разностных схем уделяется достаточно много внимания, как среди российских [8-20], так и среди зарубежных учёных [19-20]. Итак, при создании численного алгоритма решения уравнений Прандтля или уравнений Навье-Стокса необходимо учитывать факт влияния величины аппроксимационной вязкости разностной схемы на численное решение. Отметим, что стационарные уравнения Прандтля в силу параболичности не могут моделировать характер течения газа или жидкости с вихреобразованием. Это заложено в самом выводе уравнений пограничного слоя. Поэтому для моделирования потока газа с вихревыми структурами нужно использовать полные уравнения Навье-Стокса, которые являются нелинейными и относятся также к классу уравнений с малым параметром. Как будет показано в работе, разностные аналоги этих уравнений при некоторых условиях могут быть ещё и г. -плохо обусловленными.
Потоки с вихревыми структурами являются одними из самых наблюдаемых явлений в природе, в частности, при обтекании тел потоком вязкой жидкости. В одних случаях такие течения нежелательны, так как отрыв потока связан с увеличением сопротивления течения. Однако имеются задачи, в которых вихревая структура потока является желательной. Например, в камерах сгорания газотурбинных двигателей создаются специальные устройства, которые в определённой её части способствуют завихрению потока с целью устойчивости горения газовых смесей. Механизм отрыва потока объясняется воздействием на частицы

4) определяется Q

, где квадратная скобка означает целую
часть числа;
5) определяются шаги в ое :
К+/ =р-ьмч-1 > У = и,-,б;
6) уточняется равномерный шаг :
А = — с — ке— Ам+1 — км+г
Заметим, что если вместо N задан шаг А, то из (1.2.12) можно выразить N через А и алгоритм построения сетки будет аналогичен только что приведённому.