Исследование конвекции жидкости в тороидальном канале

• Автор: Дроздов, Сергей Михайлович
• Шифр специальности: 01.02.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Жуковский
• Количество страниц: 137 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение
Глава - 1. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ И ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ КОНВЕКЦИИ ЖИДКОСТИ В ТОРОИДАЛЬНОМ КАНАЛЕ
1.1 Математическая модель задачи
1.2 Исследование физической реализуемости базовой математической модели
конвекции в тороидальном канале
1.3Анализ результатов численного исследования конвекции жидкости в
тороидальном канале
Глава - 2. МЕТОД ПОЛУЧЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ПО ВРЕМЕНИ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
2.1 Периодические решения задачи Коши для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений
2.2 Расчет периодических решений системы Лоренца
2.3 Квазипериодические решения системы нелинейных ОДУ
2.4 Периодические по времени решения начально-краевых задач для систем нелинейных уравнений в частных производных
Глава - 3 . ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ КОНВЕКЦИИ ЖИДКОСТИ В ТОРОИДАЛЬНОМ КАНАЛЕ
3.1 Экспериментальная установка и измерительная система
3.2 Анализ результатов экспериментов
3.2.1 Стационарные и переходные к ним режимы конвекции
3.2.2 Нестационарные режимы конвекции
Выводы
Литература
Иллюстрации
Введение
Переход от ламинарной к турбулентной форме движения жидкой среды, причины возникновения случайности в эволюции аэрогидродинамических систем, роль нелинейности, неустойчивости, диссипации энергии и количества эффективно взаимодействующих степеней свободы - все эти проблемы характеризуются стойким и пристальным интересом исследователей и являются фундаментальными в механике. Существует несколько гипотетических сценариев перехода к турбулентности (Ландау-Хопф, Лоренц, Рюэль-Такенс и др.) и во всех критерием турбулентности выступает случайность поведения системы во времени.
По теории Ландау-Хопфа [1, 2] в гидродинамической системе со стационарными граничными условиями имеется управляющий параметр Р (число Рейнольдса Ре, число Релея Ра и др.). Если Р меньше некоторого критического значения Р*, то в системе есть лишь устойчивое стационарное состояние. При Р > Р* стационарное состояние теряет устойчивость и рождается предельный цикл с некоторой частотой «и и произвольной фазой ерь При некотором Р2 > Р* мода частоты о>1 тоже теряет устойчивость и возникает течение с двумя основными частотами ей, ю2 , в общем случае, не кратными друг другу. Фазы этих частот произвольны. При дальнейшем увеличении Р > Р3 > Р2 возникает третья частота юз и новая произвольная фаза. Далее Ландау полагал, что продвижение в сторону увеличения Р уменьшает интервалы АР между последовательными бифуркациями образования новых частот ю*, а вновь появляющиеся моды имеют все меньший и меньший пространственный масштаб. И хотя на каждом этапе механизм Ландау является строго детерминированным, возникновение случайности рассматривается как неизбежный результат большого числа взаимодействующих мод или степеней свободы (по аналогии с кинетической теорией газа).
С точки зрения современных представлений идея Ландау по крайней мере не полна. Она указывает лишь на один из возможных механизмов возникновения турбулентности, причем, по-видимому, далеко не самый общий. Рюэль и Такенс [3,4] установили, что общий путь возникновения случайности - это образование странного аттрактора, после конечного числа бифуркаций. Выяснилось также, что для возникновения случайности не обязательно иметь взаимодействие большого количества мод или степеней свободы системы. В работах Лоренца [5], Неймарка [6-9], Рюэля-Такенса [4] и др. было установлено, что стохастическими могут быть уже
решения систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) размерностью три и выше. Ярким математическим примером этого стала система Лоренца.
аХ = ©(У-Х)

= VX-ZX-Y (1)

61 = ху - ь

где 9, р, Ь - параметры
Именно в данной системе Лоренцем впервые обнаружены непериодические решения, принадлежащие некоторому притягивающему множеству, лежащему в ограниченной части фазового пространства и названному странным аттрактором [5]. В странном аттракторе сочетаются неустойчивость траекторий по Ляпунову и общее сжатие фазового пространства, которые являются следствием диссипативности и нелинейности системы. В последствии было обнаружено большое количество динамических систем со стохастическим поведением [9-12].
В работе Жигулева В. Н. предложена гипотеза, что “ Неустойчивые нелинейные системы в процессе своей эволюции стремятся к некоторым предельным формам движения - особым состояниям, не связанным в своих основных чертах с деталями начальных данных...” [13]. В этом смысле странный аттрактор -частный случай особого состояния.
Исследование системы Лоренца и других динамических систем позволило достичь значительного прогресса в разработке механизма возникновения случайности в детерминированной системе. Неймарком Ю. И. показано как из гомокпинической структуры может возникнуть странный аттрактор [7,9]. Отдельно рассмотрен случай появления хаотических движений в окрестности двух или нескольких слабо устойчивых периодических решений [9]. Переход к хаосу может осуществляться и через последовательность бифуркаций удвоения периода циклов [14,15]. Механизм возникновения странного аттрактора из притягивающего тороидального многообразия предложен Кэрри и Йорком в работе [16].
Однако все эти результаты касаются эволюции динамических систем во времени, тогда как турбулентность - не только временной, но и пространственный

u(y) = ХСпУп; Т(у) = Z Anyn ; T(y)y2

У*І = ІпСпу"=С,у + £пСпу" dy n=i

У = I>(n-l)Cnyn;

, v , . y=l=ZnAn
dy n=2 dy

In(n-l)C0yn + £nC„y" +C,y-C,y-SC„y" +GReXAnynri
n=2 n=2 n=2 n=l
Подстановка рядов в (1.44) дает следующую систему.
£(п2 - 1)С„у" + ЗС2у2 + GReIА„_2у"

£(п2 - 1)А„у" + ЗА,У2 + вуС„_2у"
п=3 п
Приравнивая члены с уп получим:
Сг =Аз =0; Ci и Ai - произвольные.
q =_GReAn_2=_ An2GRe (n2 -1) (n - l)(n + 1)
A _ _ BCn-2 =_ Cn_2B
(n2-l) (n — l)(n + 1)
при п=2к Cn=An
n=1 3 5 7 9 . п=2к-1 ; к= 1 2
Перейдем к нумерации по к:
(п-1) = 2 (к-1) ; (п+1) = 2 к ; (п-1)(п+1) = 4к (к -1) ; n - 2 = 2(к-1) -1 Тогда коэффициенты будут иметь вид:

GReA

к = 2,3
4к(к-1) ' " 4к(к — 1)
То есть решения (1.44) содержат только нечетные степени у.