Внутренние волны от потенциальных вихрей

• Автор: Секоян, Ашот Хачикович
• Шифр специальности: 01.02.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 84 с.

Введение
Внутренние волны (волны плавучести) в стратифицированных средах стали интенсивно исследоваться в современных работах по теоретической гидродинамике, физике атмосферы и океана. Это связано с тем, что мировой океан и атмосфера являются естественными примерами стратифицированных сред и исследование внутренних волн в атмосфере и океане представляет не только теоретический интерес, но и важно с точки зрения практических приложений. Начало было положено в работах классиков: Гельмгольца, Рэлея, Стокса, Бус-синеска, выполненных в прошлом веке. На основании этих работ было объяснено явление мертвой зыби в норвежских фиордах, когда суда при входе в фиорд резко теряли скорость при неизменной мощности двигателя. Как оказалось, причина заключалась в том, что мощность двигателя частично тратилась на возбуждение внутренних волн на границе раздела слоя пресной воды, принесенной рекой, впадающей в фиорд, и слоя соленой морской воды.
В классической работе Н. Е. Кочина [3] была исследована в точной математической постановке плоская нелинейная задача о периодических волнах установившегося типа малой амплитуды на границе раздела двух слоев различной плотности. Для случая непрерывного распределения плотности по высоте соответствующая теорема существования периодических внутренних волн была доказана в работе Дюбрей-Жакотен [13]. Доказательство существования решений типа солитонов и кноидальных волн (длинных волн, вырождающихся в уединенную волну при длине волны, стремящейся к бесконечности) в произвольно стратифицированной жидкости дано в работе [16]. Глобальные теоремы существования, доказательства которых опираются на сложные математические теории, доказаны Л. В. Овсянниковым и его учениками [11].
Поскольку решение задач о внутренних волнах в точной постановке для представляющих практический интерес проблем при современном состоянии науки представляется нереальным, то огромное количество работ было посвящено исследованию решений задач в линеаризированной постановке. Простейшее линейное уравнение внутренних волн в форме Буссинеска имеет вид

д2 і*2

d'u д2и д2и

dx' ду dz'

2(d"u d2u

dx dy‘

где N - частота Брента-Вяйсяля. Родственное уравнение
id2 U

d2u
dx1 à у dz'
+ N-

описывающее малые колебания однородной вращающейся жидкости, подробно исследовалось в работах С. Л. Соболева [8] и его многочисленных последователей. Некоторые исторические сведения и подробную библиографию можно найти в книге [1]. В этой же книге изложены в строгой математической постановке результаты этих авторов по исследованию задачи Коши и некоторых смешанных задач для уравнения (1) и уравнения (2).
Если в системе координат, движущейся с постоянной скоростью С в направлении оси X, движение представляется независящим от времени, то в подвижной системе координат уравнение (1) принимает вид
2 d2 (d2U

d2u

dx' dy' dz'
d2u

Эх“ dy'

Большое количество работ посвящено исследованию фундаментального решения уравнения (1). Задачи о внутренних волнах от неподвижных или движущихся источников массы или диполей представляют значительный интерес, поскольку в однородной жидкости движущееся твердое тело иногда удается заменить системой источников и диполей. При слабой стратификации подобной же системой особенностей можно заменять движущееся тело и в неоднородной жидкости. Решение задач о внутренних волнах от движущихся и неподвижных источников и диполей просто выражаются через фундаментальное решение уравнения (1) или уравнения (3). Основные трудности связаны с изучением различных асимптотик фундаментального решения при больших временах или на больших расстояниях от источника. Такие задачи решались в работах Лонга (Long R.R), Лайтхилла (Lighthil! M.J.), Майлса (Miles J.W.), Яновича (Yanovich М.), Ю (Yiu С.-S), Гудимака (Hudimac A.A.), Келлера (Keller J.B.), Манка (Munk W.H.), Вуазена (Voisin В.), Дородницына А.А.г Боровикова

B.A., Черкесова JI.B., Санникова В.Ф., Букатова A.E., Владимирова Ю.В., Го-родцова В.А., Теодоровича Э.В., Доренко С.Ф., Каменковича В.М., Чашечкина Ю.Д., Миропольского Ю.З., Нестерова С.А., Стуровой, И.В.,Степанянца Ю.В., Тер-Крикорова А.М., Бежанова К.А., Онуфриева A.A., Яковлева Т.Н., и многих других. Подробную библиографию можно найти в работе Вуазена [17].
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. В однородной жидкости со свободной поверхностью в поле силы тяжести изучались поверхностные волны, возникающие как от подвижных источников, так и от движущихся вихрей (простейшая модель подводного крыла). Задачи о вихрях в неоднородной жидкости и об их роли в процессе возникновения и развития внутренних волн исследованы в значительно меньшей степени. Между тем исследование подобных задач является актуальным, поскольку атмосферные вихри типа «торнадо» играют большую роль в формировании атмосферных процессов. Процессы в мировом океане также существенно определяются крупными океаническими вихрями. Прежде всего нужно отметить работу Эртеля (Ertel Н.) [14], результаты которой изложены в известном курсе гидродинамики [4]. Из теоремы Гельмгольца следует, что в однородной идеальной жидкости в потенциальном силовом поле в жидкой частице сохраняется вектор вихря. Из результатов Эртеля следует, что при отсутствии в неоднородной идеальной жидкости источников и стоков в жидкой частице сохраняется проекция вектора вихря на нормаль к поверхности постоянной плотности(для несжимаемой жидкости) или на нормаль к поверхности постоянной энтропии (для идеального газа). Эта проекция впоследствии была названа потенциальным вихрем. В случае жидкости, стратифицированной по вертикали, и для достаточно малых возмущений потенциальный вихрь с точностью до малых высших порядков совпадает с вертикальной проекцией вектора вихря скорости. Слабые нелинейные взаимодействия потенциальных вихрей и внутренних волн исследовались в работе [15]. Там же содержится и библиография работ по данному вопросу. Новый подход к проблеме внутренних волн, возникающих от потенциальных вихрей, был разработан в работе [9].
ЦЕЛЬ РАБОТЫ состоит в приложении идей работы [9] для исследования новых задач о волновых полях, возникающих от потенциальных вихрей, заполняющих в начальный момент времени вертикальный цилиндр. Рассмотрены также стационарные задачи о волнах от потенциальных вихрей, заполняющих вертикальный цилиндр, движущийся с постоянной скоростью в горизонтальном направлении. Эти модели можно воспринимать как простейшие модели возникновения волн от неподвижных и подвижных вихрей типа «торнадо».

rkn гфп1+5
(3-2)
Будем предполагать, что величина Л > Сд >1. Для определения асимптотики интегралов в формуле (3.1) применим метод стационарной фазы для кратных интегралов [10]. Этот метод требует исследования стационарных точек фаз
Из второго из уравнений (3.6) следует что, либо (р = 0, либо и = 0. Вторая возможность не может быть реализована, поскольку из первого уравнения следовало бы, что COS (Р{) — Яп, что невозможно, поскольку по предположению
(3.5) выполняется условие Яп > 1. Таким образом, единственная стационарная точка
(3.3)
(3.4)
Покажем, что при условии Лп >1, то есть в конической области
(3.5)
стационарную точку имеет только фаза (3.3). Эта точка определяется из системы уравнений

д(р Я,
(3.6)