Аффинная симметрия и проблемы механики ориентируемых жидкостей

• Автор: Голубятников, Александр Николаевич
• Шифр специальности: 01.02.05
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 160 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
1. КИНЕМАТИЧЕСКАЯ СИММЕТРИЯ
1.1. Подгруппы Ли группы Лоренца
1.2. Тензорные инварианты подгрупп группы Лоренца
1.3. Псевдотензорные инварианты
1.4. Подгруппы группы Галилея
1.5. Кинематические симметрии простых жидкостей
2. МАТЕРИАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ
2.1. Непрерывные подгруппы линейной унимодулярной группы
2.2. Связные подгруппы полной линейной группы
2.3. Линейные группы симметрии с конечным числом связных компонент
2.4. Инвариантные тензоры, определяющие подгруппы
2.5. Материальная симметрия поверхностного натяжения
3. АНИЗОТРОПНЫЕ ЖИДКОСТИ
3.1. Структура, основные свойства и статика жидких кристаллов
3.2. Гидродинамика и оптические свойства жидких кристаллов
3.3. Равновесие капли нематического жидкого кристалла
3.4. Устойчивость сплошных сред с высокой материальной симметрией
3.5. Устойчивость поверхностных сред
3.6. Анизотропно жесткие среды
4. ПОВЕРХНОСТНЫЕ СВОЙСТВА МАГНИТНЫХ ЖИДКОСТЕЙ
4.1. Поверхностное натяжение намагничивающихся сред
4.2. Равновесие капли магнитной жидкости
4.3. Движение пузырька в магнитной жидкости
4.4. Аномальность магнитокапиллярных свойств магнитных жидкостей
4.5. Распространение капиллярных волн малой амплитуды
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
ВВЕДЕНИЕ
При построении математических моделей механики сплошной среды и теории поля /88, 89, 91/ широко используются алгебраические свойства симметрии, основанные на понятии инвариантности моделей исследуемых физических объектов и процессов относительно различных групп преобразований. Основными задачами теории симметрии являются:
1) построение моделей, инвариантных относительно данной группы симметрии, что обычно связано с выводом инвариантной системы уравнений, конечных, дифференциальных или интегро-дифференциальных, удовлетворяющих определенным законам механики и физики. Группа симметрии модели, в свою очередь, также должна определяться на основании имеющегося в данной области науки экспериментального материала или, во всяком случае, прямо или косвенно ему не противоречить. С наличием группы симметрии связываются многие важные свойства модели, в частности, это может быть определенный тип уравнений или наличие законов сохранения, связанных с дивергентными формами уравнений, возможностями их частичного интегрирования или оценок решений.
2) математическое исследование инвариантности данной модели или класса моделей относительно преобразований, вообще говоря, функциональных, переводящих решение в решение при соответствующих заменах дополнительных условий, а также отыскание инвариантно-групповых решений, что связано с классификацией подгрупп полученной группы симметрии, нахождением их инвариантов и построением упрощенных систем уравнений - подмоделей /81, 82, 83, 59/. При этом полное множество преобразований симметрии часто оказывается шире первоначально заданной группы симметрии модели.
В механике сплошной среды, в которой обычно роль основного параметра механического состояния среды играет дисторсия представляющая собой производные, например, от лагранжевых переменных а = 1,2,3, по эйлеровым координатам материальных точек и времени хг, i = 1,2,3,4, различают две группы симметрии модели - группы кинематической и материальной симметрий.
Группа кинематической симметрии представляет собой множество преобразований переменных х1 и ее структура зависит от геометрии пространства-времени и воздействия внешних полей, нарушающих симметрию. Максимальными здесь являются следующие группы: в ньютоновской механике - группа Галилея Г, в специальной теории относительности - группа Лоренца Ь (с учетом сдвигов - группа Пуанкаре), в

общей теории относительности - множество всех гладких невырожденных преобразований четырех переменных.
Наибольшей группой материальной симметрии, определенной, например, как группа симметрии плотности внутренней энергии е - функции от , является множество всех гладких невырожденных преобразований трех переменных Ее подгруппами являются группы линейных преобразований: ОЬз и более узкая ±5Гз, оставляющая инвариантной плотность среды р и, следовательно, играющая определяющую роль в механике изотропных жидкостей и газов. В теории деформируемых твердых тел максимальной группой материальной точечной (без сдвигов) симметрии принято считать ортогональную группу Оз.
При конструировании моделей сред и полей значительную роль играет классификация допустимых подгрупп одной из максимальных групп симметрии, что связано с описанием всех возможных нарушений симметрии. Ясно, что решение задач сразу в наиболее несимметричной модели сильно усложняет математические методы, часто эффективно использующие при решении свойства симметрии модели в целом. Знание всех подгрупп позволяет постепенно подойти к сильно несимметричным моделям, например, используя малые параметры и асимптотические методы /69/.
Общий подход к исследованию такой иерархии моделей сплошных сред намечается в представленной диссертации путем проведения полных классификаций подгрупп Ли группы кинематической симметрии Ь и группы материальной симметрии ±6'/уз с конечным числом связных компонент, а также описания их инвариантов, входящих в уравнения состояния простых (без производных от £“ и внутренних степеней свободы как дополнительных определяющих параметров) сплошных сред. Дана также классификация связных подгрупп группы ОЬэ и их инвариантов.
Рассмотрение групп с конечным числом связных компонент, в первую очередь, связано с исследованием возможности задания, что не обязательно, группы симметрии с помощью набора инвариантных тензоров, определяющих анизотропию среды или пространства-времени, что типично для построения моделей механики, во всяком случае, с ортогональными группами материальной симметрии. Группа симметрии любого конечного набора тензоров, как алгебраическая группа /8/, имеет конечное число связных компонент.
Как показывают примеры сред с линейными уравнениями движения, требование гиперболичности системы уравнений (или устойчивости среды по Гиббсу /21, 54, 96/) существенно может сузить класс допустимых групп симметрии. Этот вопрос в общем, нелинейном, случае должен быть исследован дополнительно и содержит в себе, как возможность отсева групп симметрии, почти всегда не допускающих гиперболич-

Отметим, что в случае отсутствия всякой кинематической симметрии скалярная зависимость и от иг понимается в произвольном базисе как зависимость от сверток вектора с исходными базисными векторами е В случае наличия нетривиальной группы симметрии, задаваемой некоторой конечной системой тензоров {Т;}, скалярные инварианты составляются из тензоров {Т/} и вектора
Но не всегда группа симметрии может быть задана системой тензоров, например, в случаях групп Ст'ьз и &'з.5. Это обстоятельство не имело места для подгрупп ортогональной группы. С точки зрения конструирования моделей сплошных сред является существенно новым то, что при составлении внутренней энергии большие возможности дает задание именно ее группы симметрии, а не набора инвариантных определяющих тензоров, которые могут и не существовать. Многочисленные примеры таких случаев будут даны ниже при наличии различных материальных симметрий.
При переходе к ньютоновской механике величины и>г заменяются на компоненты вектора (рп“/р0, р/ро), где V - вектор трехмерной скорости.
Наибольший интерес представляют собой случаи небольшого нарушения изотропии пространства-времени, отвечающие зависимости и от двух инвариантов. Такие примеры дают двумерные и трехмерные группы симметрии. Всего может быть только 4 таких случая (см. таблицу (1.5.1)).
Остановимся на физической интерпретации наличия группы симметрии. Пусть в случае адиабатического движения идеальной (невязкой) простой среды уравнения движения при заданных как функции эйлеровых переменных хк компонентах поля метрического тензора §, а также других полей, нарушающих кинематическую симметрию, уравнения движения могут быть получены с помощью вариационного принципа с плотностью Лагранжа Л(жг, £“,£“) = —у/де, е — ри, д — <1еЬ(д), где е - плотность внутренней энергии в расчете на единицу собственного объема наблюдателя, путем варьирования £“ при заданной энтропии з(£“):
д дА ЗА
~3?д + д~ ( *
Отметим, что при отсутствии явной зависимости Л от £“ , например в случае
изэнтропического движения первоначально однородной среды, уравнение (1.5.6) всегда
дает закон сохранения независимо от выбора координат хг, кривизны пространства-времени и других внешних с точки зрения самой среды физических полей.
Тензор плотности энергии-импульса данной среды определяется как
й = 4*-|р«, = ‘“Ч-е|р«Г С-5-7)