W-модификация метода Годунова и ее приложения в моделировании газодинамических течений с ударными волнами

• Автор: Васильев, Евгений Иванович
• Шифр специальности: 01.02.05
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Волгоград
• Количество страниц: 213 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ И СОДЕРЖАНИЕ У-МОДИФИКАЦИИ МЕТОДА ГОДУНОВА ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
1.1. Общие понятия и определения. Задача Римаыа. Формулировка схемы Годунова. Подход к повышению точности схемы Годунова
1.2. Линейные и нелинейные модификации схемы Годунова второго порядка для модельного уравнения переноса. Условие монотонности.
Второе дифференциальное приближение. Примеры функций-лимитеров
1.3. Нелинейная модификация схемы Годунова для двумерного уравнения переноса. У-шаблон вычисления поправок. Теорема о монотонности
в двумерном случае. Примеры функций осреднения 1гш1(а, Ь)
1.4. Обобщение У-модификации для системы уравнений в одномерном
и двумерном случаях
2. У-МО ДИФИКАЦИЯ МЕТОДА ГОДУНОВА НА ПОДВИЖНЫХ КРИВОЛИНЕЙНЫХ СЕТКАХ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ДВУМЕРНЫМ НЕСТАЦИОНАРНЫМ ТЕЧЕНИЯМ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
2.1. Дифференциальные и интегральные формы уравнений движения.
Расчетные формулы для подвижной четырехугольной ячейки
2.2. Процедура ускорения численного решения задачи Римана
о распаде произвольного разрыва
2.3. Вычисление 1Л-поправок к методу Годунова для уравнений Эйлера на подвижных криволинейных сетках. Тестовые расчеты и оценка порядка точности У-метода
2.4. Перемещение границы подвижной сетки, связанной с ударной волной
3. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ АВТОМОДЕЛЬНЫХ ТЕЧЕНИЙ
С УДАРНЫМИ ВОЛНАМИ
3.1. Истечение сверхзвуковой струи из расширяющейся щели. Влияние скорости расширения щели и начального перепада давлений на характер течения. Периодические пульсации течения при медленном расширении щели
3.2. Распад комбинированного разрыва около прямого утла. Режим
течения с периодическими пульсациями
3.3. Маховское отражение сильной ударной волны от клина. Различные случаи отражений. Пульсации спутной струйки в двойном маховском отражении
3.4. Маховское отражение слабой ударной волны от клина в условиях
парадокса Неймана. Методика численного моделирования и результаты
вычислений. Четырехволновая схема течения. Сопоставление
численных, теоретических и экспериментальных результатов
4. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СТАЦИОНАРНОГО ОТРАЖЕНИЯ КОСОЙ УДАРНОЙ ВОЛНЫ ОТ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ
4.1. Некоторые особенности численного моделирования
4.2. Влияние подветренного угла порождающего клина и внешнего противодавления
4.3. Численное исследование неоднозначности стационарного отражения
ф косой ударной волны. Эффекты гистерезиса
4.4. Эффект гистерезиса при вариации внешнего противодавления
5. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ТЕЧЕНИЙ ЗАПЫЛЕННОГО ГАЗА
5.1. Уравнения движения запыленного газа. Трехэтапная разностная схема численного решения
5.2. Численное моделирование взаимодействия плоской ударной волны
с пылевым облаком
5.3. Течение запыленного газа в сверхзвуковых соплах й струях. Постановка ♦ задачи. Методика построения сетки и реализация граничных условий.
Результаты численного моделирования
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ
Исследование различных течений жидкости и газа с помощью моделирования на ЭВМ стало в настоящее время признанным и быстроразвивающимся направлением науки, получившим название вычислительная аэрогидродинамика. Эта дисциплина состоит из теории механики жидкости и газа, вычислительных методов, математического и программного обеспечения ЭВМ.
Численное моделирование аэрогидродинамических явлений относится к разряду наиболее ресурсоёмких компьютерных задач. Стремительный рост быстродействия и памяти ЭВМ не может в полной мере удовлетворить потребностям практики и научных исследований, опережающий рост запросов которых во многом стимулируется именно прогрессом вычислительной техники. По этой причине совершенствование имеющихся и создание новых экономичных и быстродействующих численных методов неизменно является актуальной и первостепенной задачей вычислительной аэрогидродинамики.
Для серийных практических расчетов наиболее важными требованиями являются относительная простота и надежность численного метода. Для газодинамических течений с ударными волнами первым методом, удовлетворяющим указанным критериям, по праву считается метод, основанный на ’’распадной” схеме С.К. Годунова [34]. Гибкость метода, сочетающая устойчивый сквозной счет с возможностью использования подвижных сеток и простых процедур выделения разрывов, определила его широкое распространение не только в России. Значительную роль в популяризации метода сыграла вышедшая в 1976г. первая в своем роде коллективная монография [36].
Последующее развитие явной схемы Годунова связано с появлением монотонной модификации Колгана [43], имеющей второй порядок по пространственной переменной, идеи которой далее были развиты и обобщены в целом ряде отечественных [44, 47, 26, 27, 64, 65, 57, 33, 4] и зарубежных работ [162, 163, 105, 92, 157, 174, 106, 175, 93].
Монотонные схемы для одномерной нестационарной газодинамики изучены достаточно полно. К 90-ым годам работы по монотонным методам повышенной точности переместились в актуальную плоскость создания и исследования схем для нестационарных многомерных течений однофазных, двухфазных и вязких сред. С повышением сложности математических моделей неизбежно возрастает и сложность разностных схем. В связи с этим повышается роль тестирования методов и их апробации на примере классических двумерных нестационарных задач, в которых еще имеется целый спектр собственных нерешенных проблем (например, задача о маховском отражении ударных волн).
Целями настоящей работы являются:
— создание и тестирование эффективных полностью двумерных монотонных разностных схем повышенной точности для расчетов нестационарных плоских и осесимметричных течений однофазных и двухфазных сжимаемых сред
— исследование пульсирующей неустойчивости автомодельных решений в некоторых течениях струйного типа с ударными волнами
2.3. Вычисление АУ-поправок к методу Годунова для уравнений Эйлера на подвижных криволинейных сетках. Тестовые расчеты и оценка порядка точности W-мeтoдa
Алгоритм вычисления поправок, изложенный в предыдущей главе, использует недивергентную форму записи гиперболических уравнений. Несмотря на повторение, выпишем еще раз формулы для поправок в общем случае.
Пусть гиперболическая система уравнений, записана в недивергентной форме:

ЗГ+ ~дх + ду ~ ’
где w - вектор из т компонент, X и У' - матрицы, зависящие от у.
В силу гиперболичности у каждой из матриц X и У все собственные числа действительны, а множество собственных векторов полно, поэтому имеет место
разложение:
ХЛгАЦ-1, ¥ = ЛуМЩ (2.13)
где Нх, Ку - матрицы правых собственных векторов, а Л и М - диагональные матрицы собственных чисел (Аь) и (/**), к
Считаем, что сетка выбрана равномерной по координатам (а:, у), причем направление роста индексов ячеек (з, г) совпадает с направлением осей координат. Для каждой ячейки с номером (У, г) вычисляем векторы характеристических разностей против потока вдоль осей х и у - р ч и ([ }к - обозначение к-ой компоненты вектора):
[Р;«Ь = [д*1('игя ~ к = з~ п(),
(ЯііЬ = ((чц - ік = і- зіеп(рь),
где Wji - вектор параметров в ячейке (_;, г) в момент і.
Для каждой ячейки находим два вектора поправок Зту,-; и Зушд, соответственно вдоль осей х я у, которые вычисляются следующим образом:
Руг* = а"), шіа(',,/3" ), (2.14)
где ті<1(а, Ь) - функция выбора среднего из а и 6 (см. параграф 1.4), применяемая покомпонентно. Векторы а';, а"; и /3',, /3"г вычисляются с привлечением разностей против потока в данной ячейке и в ячейке, находящейся впереди по потоку:
+ ьаь'Ъц,
Рд,«* - 1 АІРл.< “ А*'іМІЯд,< + ЫК'Ъ* ,

(2.15)
% = Ч* ' МНі ~ ~Л/|А|р,, + АШ-'Ьц,
Я»,и ДуМЧіА ДжД/Д,|Л|р, + АіЛу Ь,
Зк = 3 + 8І®п(Л*), ік = і + sign(/Js).
(2.16)
Значения коэффициентов матриц и источников вычисляются по параметрам той ячейки, в которой производится вычисление поправок. Поправки постоянны по ячейке