Новые решения уравнений двумерной анизотропной пластичности

• Автор: Филюшина, Елена Владимировна
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 129 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Елава 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГРУППОВОЕО АНАЛИЗА
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
§ 1Л Введение в непрерывные группы Ли
§ 1.2 Точечная группа, допускаемая дифференциальными уравнениями. Использование точечных групп для исследования и решения дифференциальных
уравнений
§ 1.3 Высшие симметрии дифференциальных уравнений
§ 1.4 Законы сохранения
ГЛАВА 2 НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ АНИЗОТРОПНОЙ
ПЛАСТИЧНОСТИ
§ 2.1. Основные уравнения и их свойства
§ 2.2. Групповые свойства уравнений идеальной анизотропной пластичности
§ 2.3. Известные решения уравнений анизотропной пластичности и их свойства
§ 2.4. Новые решения
§ 2.5. Анализ полученных решений
ГЛАВА 3 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ
ПЛАСТИЧНОСТИ ВЫСШИМИ СИММЕТРИЯМИ
§ 3.1. Основные положения
§ 3.2. Действие высшей симметрии на решение Прандтля
§ 3.3. Действие высшей симметрии на решения Надаи
ГЛАВА 4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О ВОЛНЕ НАГРУЗКИ В
УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОМ СТЕРЖНЕ
§ 4.1. Вывод основных уравнений
§ 4.2. Использование законов сохранения для решения уравнений, описывающих
волну нагрузки в упругопластическом стержне
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ

ВВЕДЕНИЕ
Настоящая диссертационная работа посвящена построению новых решений нелинейных дифференциальных уравнений плоской (двумерной) идеальной анизотропной пластичности методами группового анализа, а также использованию законов сохранения для нахождения аналитического решения задачи о волне нагрузки в упругопластическом стержне.
Актуальность. В настоящее время математическая теория пластичности является одной из хорошо разработанных частей механики деформируемого твердого тела. Первые работы по математической теории пластичности относятся к семидесятым годам XIX века и связаны с именами А. Треска, Б. Сен-Венана, М. Леви.
Система дифференциальных уравнений двумерной идеальной пластичности является важной основой, как для механиков, так и для инженеров, потому что служит моделью для расчета различных технологических процессов.
Систематическое исследование двумерных полей напряжений при пластическом состоянии было начато в 20-х годах XX века. В его основе лежит метод, основанный на изучении характеристик гиперболической системы пластичности. Эти характеристики, известные как линии скольжения, обладают рядом замечательных свойств и позволяют построить решения многих практических задач. Развитие фундаментальных соотношений теории идеальной пластичности связано с именами Г. Гейрингер, Г. Генки, В. Койтера, Е. Ли [24], А. Надаи [36, 37], Е. Оната [24], В. Прагера [44], Л. Прандтля [15, 24, 29], Б. Сен-Венана [24, 29], Р. Хилла [60] и др.
Вопросам и задачам теории идеальной пластичности, упругопластичности посвящены многочисленные работы отечественных авторов: Б.Д. Аннина [2], Г.И. Быковцева [6,7], Ю.Н. Радаева [24], Д.Д. Ивлева [22-24], А.Ю. Ишлинского [25,26], Л.М. Качанова [29], Р.И. Непершина [24], В.В. Соколовского [53], С.А. Христиановича [61], А.И. Хромова [62,63], В.М. Садовского [45] и др. [1, 10, 11, 20,21,32, 34,35,41,42, 43,54].
Однако до настоящего времени уравнения теории пластичности не исследованы в полной мере. Вся сложность заключается в нелинейности системы дифференциальных уравнений как в двумерном так и в пространственном случаях. Что касается получения точных решений в замкнутом виде, то здесь стоит отметить работы Л. Прандтля [24, 29], А. Надаи [36,37], Д.Д. Ивлева [22-24], В.В. Соколовского [53], Б.Д. Аннина [2], С.И. Сенашова [46-51] и др.
За всю историю изучения системы двумерных уравнений пластичности было получено лишь несколько точных решений для реальных механических задач. Кроме того, точные решения используются для тестирования численных методов; позволяют оценивать надежность несущих конструкций и т.п. Поэтому каждое новое точное решение представляет несомненный теоретический и практический интерес.
Одним из современных методов поиска точных решений дифференциальных уравнений механики является групповой анализ, базой которого являются группы непрерывных преобразований (или точечные симметрии), допускаемые уравнениями. Симметрии позволяют искать различные виды решений, получать новые решения из известных и т.п. В данной работе продолжаются исследования в этом направлении, начатые Б.Д. Анниным [2], С.И. Сенашовым [46 - 51] для двумерных уравнений идеальной пластичности.
Целью работы является построение новых точных решений уравнений анизотропной теории пластичности с применением методов группового анализа, а также использование законов сохранения для нахождения аналитического решения задачи о волне нагрузки в упругопластическом стержне.
Методика исследования. В основу исследования положены: методы группового анализа, а также методы уравнений в частных производных.
Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми и снабжены подробными доказательствами.
Основные элементы новизны в диссертации:
• предложена методика построения решений уравнений идеальной пластичности с помощью высших симметрий, построены новые решения;

Система 52, вообще говоря, является активной, т.е. может порождать новые уравнения как условия совместности уравнений 52. Следуя общей теории исследования переопределенных систем дифференциальных уравнений, можно привести систему 52 к пассивному виду Р, т.е. к такому виду, когда все условия совместности выполнены тождественно. В результате система 5 представится в виде системы 5/Я, связывающей инварианты группы Я, и пассивной системы Р, связывающей параметрические функции и р независимых переменных. Для построения частично инвариантного решения, следовательно, необходимо решить систему уравнений Р и найденные параметрические функции подставить в систему 5/Я. Решая ее, находим оставшиеся главные функции.
Отыскание частично инвариантных решений проще, чем отыскание произвольных решений системы 5, т.к. функции и1
Замечание. На практике часто оказывается, что некоторые частично инвариантные решения на самом деле являются инвариантными решениями (редуцируются к ним). Поэтому естественно исключить редуцируемые частично инвариантные решения из рассмотрения. Так возникает проблема редукции, которая еще далека от своего решения [40].
§ 1.3 Высшие симметрии дифференциальных уравнений
В этом параграфе будет описано построение высших симметрий для дифференциальных уравнений. С помощью симметрий, допускаемых системой дифференциальных уравнений, можно получить информацию о внутренней