Колебания и устойчивость подкрепленных оболочек, близких к цилиндрическим

• Автор: Лопатухин, Алексей Леонидович
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 72 с. : ил

Введение.
В современной технике наряду с гладкими оболочками широко используются подкрепленные (ребристые) оболочки. В связи с этим актуальными являются разработка новых и совершенствование уже существующих методов расчета тонкостенных конструкций такого типа, подвергающихся воздействию статических и динамических нагрузок. Об этом свидетельствует появление в последнее время монографий, полностью посвященных задачам теории подкрепленных оболочек [7], [3], [28], [52].
Необходимым элементом исследования динамики конструкций является определение частот и форм малых колебаний. При действии на оболочку статических нагрузок ее работоспособность зависит от значений максимальных напряжений-и от величин критических нагрузок, при которых происходит потеря устойчивости. Для тонких оболочек во многих случаях определяющим является расчет на устойчивость.
Как задачи определения частот и форм колебаний, так и линейные задачи устойчивости сводятся к краевым задачам на собственные значения для систем дифференциальных уравнений в частных производных.
Точные решения краевых задач теории колебаний и устойчивости подкрепленных оболочек в виде бесконечных тригонометрических рядов удалось получить лишь в немногих исключительных случаях [6] с использованием упрощающих предположений. При решении этих задач применяются приближенные методы расчета: численные вариационные, асимптотические.
Уравнения теории тонких оболочек содержат малый параметр -
безразмерную толщину оболочки. В виду этого обстоятельства асим-

птотические методы интегрирования систем дифференциальных уравнений [13], [14], [40], [55] систематически используются для решения разнообразных задач теории тонких оболочек [8], [17], [18], [45].
Малый параметр входит в уравнения теории оболочек в виде множителя при старшей производной. При обращении в нуль малого параметра получается порождающая (укороченная) система уравнений, которая имеет меньший порядок, чем исходная. Системы дифференциальных уравнений такого типа называются сингулярно возмущенными.
При решении краевых задач для сингулярно возмущенных систем уравнений теории оболочек в случае регулярного вырождения [14] удается разделить напряженно - деформированное состояние оболочки на основное и простой краевой эффект. В задачах статики основное состояние обычно является безмоментным. При осесимметричных колебаниях оболочек основное состояние тоже оказывается безмоментным, в остальных рассмотренных в диссертации задачах — полубезмоментным. Функции краевого эффекта вносят существенный вклад в решение только вблизи краев оболочек и линий их сопряжения или подкрепления.
Основное состояние определяется путем решения вырожденной системы уравнений, которая имеет меньший порядок, чем исходная. Вследствие этого основное состояние вообще говоря не удовлетворяет всем граничным условиям. Метод разделения напряженно - деформированного состояния на главное и краевой эффект можно использовать только в том случае, когда удается разделить граничные условия на главные и дополнительные. С помощью главных условий определяется основное состояние, а с помощью дополнительных находится простой краевой эффект. В некоторых случаях для получения главных

и дополнительных условий необходимо составлять линейные комбинации исходных граничных условий.
Разделение простых граничных условий заделки, шарнирного края и др. на главные и дополнительные в задачах теории колебаний и устойчивости проведено в [1], [18], [49]. Для гладких оболочек в этих работах получены краевые задачи нулевого приближения. Для сопряженных и подкрепленных оболочек использование метода разделения напряженно - деформированного состояния на главное и краевой эффект осложняется в виду необходимости разделения на главные и дополнительные громоздких граничных условий на линиях сопряжения и подкрепления оболочек.
При обращении в нуль малого параметра получается вырожденная система уравнений, которая имеет меньший порядок, чем исходная. В работе рассматриваются только такие краевые задачи, в которых вырождение является регулярным в смысле Вишека-Люстерника [14]. Регулярное вырождение имеет место, как правило, для нижней части спектра собственных значений, определение которой представляет наибольший интерес для приложений.
В настоящей работе рассматриваются, в основном, подкрепленные шпангоутами оболочки. Теории подкрепленных оболочек посвящено большое число публикаций. Обзоры работ по динамике и устойчивости подкрепленных оболочек содержатся в [6-8], [28]. В отличие от других разделов теории оболочек, численные методы (методы конечных разностей и конечных элементов) применяются в этой области достаточно редко. Наибольшее распространение получили аналитические и вариационные методы [2], [6], [18], [20], [38], [48], [50], [51], [52]. Асимптотические разложения использовались в основном при исследованиичсонструктивно-ортотропных оболочек [8], [22], [45].

методом Релея. Для шарнирного опирания величины Л и Ля совпадают.
табл.
т Л Ля
10 0,0385 0,0
11 0,0261 0,0
12 0,0188 0,0
13 0,0147 0,0
14 0,0125 0,0
15 0,0116 0,0
16 0,0116 0,0
17 0,0124 0,0
18 0,0137 0,0
Величины Р и 0 были найдены в работе [41], где их значения равнялись Р = 5.333, 0 = 2.667. Использование значений Р и 0 из работы [41] дает решение, менее близкое к численному, нежели полученное.
Теперь рассмотрим ту же самую оболочку, но подкрепленную по нижней параллели круговым стержнем (шпангоутом) с прямоугольным поперечным сечением шириной а и высотой Ь.
Граничные условия для этого случая такие же как и для подкрепленной шпангоутом оболочки с прямыми краями.
Результаты вычислений приведены в табл. 8. Здесь т - число волн по параллели, X - значение первой частоты, полученное путем численного интегрирования уравнения (3.2), а Л!( - значение, полу-