Уравнения движения неголономных систем и вариационные принципы механики

• Автор: Юшков, Михаил Петрович
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 207 с.

Основные результаты, выносимые на защиту
Глава! ГОЛОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ
§ 1. Уравнения движения изображающей точки голономной механической
системы
§ 2. Уравнения Лагранжа первого и второго рода
§ 3. Некоторые замечания о множителях Лагранжа
§4. Принцип Даламбера-Лагранжа
§ 5. Применение уравнений Лагранжа первого рода для исследования собственных колебаний механических систем с распрёделенными
параметрами
§6. Специальная форма уравнений динамики системы твердых тел
Глава II. НЕГОЛОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ
§ ! Реакция неголономной связи
§2. Уравнения движения неголономных систем
§ 3. Примеры применения различных видов уравнений неголономной
механики
§4. Принцип Суслова - Журдена
§5. Определение возможных перемещений по Четаеву
Глава III. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИЛ
§ 1. Некоторые общие замечания
§ 2. Теорема о силах, обеспечивающих выполнение голономных связей
§3. Пример применения теоремы о силах, обеспечивающих выполнение
голономных связей
§ 4. Постулаты Четаева и теорема о силах, обеспечивающих выполнение
неголономных связей
§ 5. Пример применения теоремы о силах, обеспечивающих выполнение
неголономных связей
. § 6. Линейные преобразования сил и принцип Гаусса
Глава IV. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КАСАТЕЛЬНОГО ПРОСТРАНСТВА ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ НЕСВОБОДНОГО ДВИЖЕНИЯ.
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДИНАМИКИ
§ 1. Разбиение уравнениями связей касательного пространства на два
подпространства. Идеальность связей
§ 2. Взаимосвязь дифференциальных вариационных принципов
механики
§3. Геометрическая интерпретация линейных и нелинейных
неголономных связей. Обобщенный принцип Гаусса
§4. Уравнения движения в квазикоординатах. Уравнения
Пуанкаре-Чет аева
§ 5. Идеальные неголономные связи п-го порядка. Смешанная задача
динамики
§ 6. Движение спутника Земли с постоянным по модулю ускорением
§7. Линейные неголономные связи общего вида при порядке п>3
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение А. ДВИЖЕНИЕ НЕГОЛОНОМНОЙ СИСТЕМЫ ПРИ
ОТСУТСТВИИ РЕАКЦИЙ НЕГОЛОНОМНЫХ СВЯЗЕЙ
§ 1. Условия существования ’’свободного движения” неголономной
системы
§ 2. Свободное движение саней Чаплыгина
§ 3. Возможность свободного движения неголономной системы
при наличии активных сил
Приложение В. О ДВИЖЕНИИ АВТОМОБИЛЯ НА ПОВОРОТЕ КАК О ЗАДАЧЕ С НЕГОЛОНОМНЫМИ НЕУДЕРЖИВАЮЩИМИ
СВЯЗЯМИ
§1. Общие замечания
§2. Возможные типы движений автомобиля
§3. Рациональный выбор квазискоростеи
Приложение С. ПРИМЕНЕНИЕ СПЕЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ РОБОТОТЕХНИКИ
Приложение И. ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННОГО ПРИНЦИПА ГАУССА ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ СПУТНИКА ЗЕМЛИ
С ПОСТОЯННЫМ УСКОРЕНИЕМ
§ 1. Уравнения движения при связях третьего порядка, полученные из
обобщенного принципа Гаусса
§ 2. Уравнения движения спутника с постоянным ускорением
в полярных координатах
Приложение Е. ПОСТРОЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЙ
УРАВНЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ НА ОСНОВЕ ПРИНЦИПА ГАУССА
Приложение Б. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДИКИ ПУАНКАРЕ-ЧЕТ АЕВА ПРИ ВЫВОДЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ НЕГОЛОНОМНЫХ
СИСТЕМ
СПИСОК ОСНОВНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Теории движения неголономных систем всегда уделялось достаточно большое внимание. Еще в исследованиях И.Ньютона, Л.Эйлера, И.Бернулли, Я.Бернулли, Ж.Даламбера, Ж.Лагранжа встречались элементы задач о качении твердых тел без проскальзывания, являющиеся характерными для движения систем с неголо-номными связями. С.Пуассон [353, 1833 г.] при решении подобных задач использует общие теоремы динамики. Е.Раус в книге [357, 1884 г.] рассматривает задачу о качении твердого тела без скольжения по неподвижной поверхности и приводит ее к квадратурам для многих сложных случаев, например, для случая качения тяжелого однородного шара по цилиндрической поверхности, имеющей циклоидальное сечение. Движение катящихся тел рассматривает и П.Аппель [253, 1899 г.]. Интересную задачу о качении без скольжения шара с имеющимся внутри гироскопом рассмотрел Д.К.Бобылев [13, 1892 г.]. Для случая, когда центр масс всей системы находится в центре шара, ему удалось довести задачу до конца, выразив все искомые неизвестные через эллиптические функции. Н.Е.Жуковский [52] показал, что если в сферическую оболочку ввести дополнительное кольцо и подобрать специальным образом моменты инерции, то изучение задачи упрощается. При этом он привел геометрически наглядное исследование.
Все эти задачи различными авторами разными способами решались верно. Однако на рубеже XIX "XX веков попытки решить типично неголономные задачи привычными методами голономной механики привели к ряду знаменитых ошибок, сыгравших существенную роль в становлении неголономной механики. Так, в 1885 и 1886 годах К.Нейман [341, 342] для составления уравнений движения тяжелого тела, катящегося без скольжения по неподвижной плоскости, применил обычные уравнения Лагранжа второго рода. Правда, вскоре он понял, что в подобных задачах следует пользоваться более сложными уравнениями Лагранжа с множителями [343, 1887, 1888 г.г.]. Поставленную им задачу он этим аппаратом решил до конца в 1899 г. [344].
Более частную задачу решал Э.Линделёф [326, 1895 г.]. Он рассматривал тело, ограниченное поверхностью вращения, у которого центр инерции расположен на оси вращения, являющейся динамической осью симметрии тела. Силы предполагались консервативными, причем силовая функция зависела, лишь от координат точки касания тела. Обращаясь к работе С.Пуассона [353], Э.Линделёф предлагает вместо общих теорем динамики исходить из принципа Гамильтона или из уравнений Лагранжа второго рода, которые можно из него получить. Составив два уравнения неголономных связей, он использует их при составлении кинетической энергии и ошибочно считает, что этим полностью учтена неголономность задачи, а поэтому можно составлять уравнения Лагранжа второго рода. Естественно, что полученная таким образом система дифференциальных уравнений оказалась проще истинной и могла быть решена в квадратурах.

неголономных связей с помощью формул (2.5); находится обратное преобразование (2.3) и после его дифференцирования по новым неголономным переменным составляются уравнения движения (2.10). Здесь можно сделать два полезных с вычислительной точки зрения замечания.
Во-первых, при численном интегрировании системы (2.10) совместно со связями (2.1) последние рекомендуется предварительно продифференцировать по времени и получить уравнения, линейные относительно обобщенных ускорений. Эти уравнения и уравнения Маджи будут представлять собой систему линейных неоднородных алгебраических уравнений относительно д1, ... , «у®, разрешив которую получим систему дифференциальных уравнений, подготовленную для численного интегрирования.
Во-вторых, в случае нелинейных неголономных связей (2.1) получение из формул (2.2) обратного преобразования (2.3) может представить определенные трудности. Чтобы избежать этого, рекомендуется с помощью формул (2.2) составить матрицу производных (до^/дд17), р,а = 1,з, а затем найти обратную матрицу (Зд^/Зи*), р, сг = 1,з, элементы которой и используются для составления уравнении Маджи.
Остановимся еще на одном виде уравнений неголономной механики. В случае идеальных связей (2.1) уравнение (2.9) можно представить в виде:
№=У + Л^ег. (2.21)

Умножим скалярно уравнение (2.21) на векторы основного базиса еа, (7 = 1,з, исходной криволинейной системы координат. Тогда получим:
дч>*
= (9 с + — , (7=1,3,

что можно переписать в виде:
(I дТ дТ ^ . ду* — /оолЧ
дд-~Я,т+ *дд°' (2'22)
Эти уравнения обычно называют уравнениями Лагранжа второго рода с неопределенными множителями [42]. Они вместе с уравнениями неголономных связей (2.1) составляют систему в + к дифференциальных уравнений относительно з + к неизвестных да, а = 1,з, Лж, я = 1, к. Именно Поэтому по аналогии с уравнениями (2.22) главы I их можно называть уравнениями Лагранжа первого рода в обобщенных координатах для неголономных систем. Напомним, что для линейных неголономных связей их первым записывал Раус.
Если исходная система координат является декартовой, то
д — Уа } 6(7 = 6 = , (7 = 1,3,
'¥>*(*, У. У) = 0, х=1 ,к,
и уравнения (2.22) принимают вид:
Му^У^+А,— , п = М. (2.23)