Геометрическая модель некоторых физических взаимодействий на частично упорядоченных многообразиях

• Автор: Крым, Виктор Револьтович
• Шифр специальности: 01.01.09, 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 138 с.

Оглавление

Оглавление
1 Введение
2 Каузальные структуры в линейных пространствах
2.1 Векторные кинематики
2.2 Линейные пространства кинематического типа
2.3 Возможные топологии
2.4 Предпорядок и пространство слоев одновременности
2.5 Метрические линейные кинематики
2.6 Факторкинематика метрической линейной кинематики
3 Каузальные структуры на гладких многообразиях
3.1 Гладкие многообразия кинематического типа
3.2 Локальный порядок
3.3 Псевдоримановы многообразия сигнатуры (+, —)
3.4 Гладкие многообразия со скалярным произведением
сигнатуры (+, 0
3.5 Допустимые координаты и группа преобразований
координат
4 Уравнения движения заряженной частицы
4.1 Уравнения Эйлера - Лагранжа
4.2 Инвариантность теории
4.3 Уравнения геодезических для заряженной частицы
4.4 Пример Монтгомери
4.5 Теорема существования
Оглавление
5 Уравнения Эйнштейна в присутствии
электромагнитного поля
5.1 Связность на распределении
5.2 Преобразование кривизны распределения
5.3 Объем на распределении
5.4 Вариационный принцип для распределения
5.5 О квантовании электрического заряда
Литература
1 Ннедение

1 Введение
1. Дифференциальные системы, или распределения, на гладких многообразиях естественно возникают во многих задачах теории оптимального управления. Неголономные вариационные задачи встречаются в термодинамике, в квантовой теории, в механике и в других областях [25, 26]. Известная в физике модель электромагнитных и гравитационных взаимодействий также содержит некоторое четырехмерное распределение. Основой для описания этих взаимодействий является квантовая механика. Однако неквантовые модели электромагнитных и гравитационных взаимодействий также дают много информации об этих взаимодействиях и могут быть использованы для дальнейшего развития квантовой теории. В частности, математическая модель, построенная в настоящей работе с помощью методов теории оптимального управления, позволяет дать хорошую геометрическую интерпретацию калибровочных преобразований. Все математические модели природных и техногенных систем, в том числе и наиболее фундаментальных природных процессов, существенно углубляют наши знания и позволяют создавать новые системы на их основе. Выдающиеся специалисты по теории оптимального управления, например, В.Г. Болтянский, создавали модели теории относительности, имеющие значение в физике. Основой теории относительности является отношение причинности. Отношение причинности на лорен-цевых многообразиях тщательно изучалось [16, 65]. Абстрактное отношение причинности на многообразиях было впервые определено в работах Г. Буземана [70] и Р.И. Пименова [46]. Обобщение отношения причинности на неголономные распределения является чрезвычайно интересной и важной задачей. В настоящей работе показано, что отношение причинности существует на негол оном-
2 Каузальные структуры в линейных пространствах

ка — открыта, и топология в В2 дискретная. Это несовместимо с аксиомой ЛК3. Поэтому случай (5) для линейной кинематики невозможен.
5. Для произвольной конечной размерности п изобразим Ь = 1У сохраняя линейную структуру, точками евклидова пространства Мп и выделим случай, когда конус (5 открыт не только в Яп, но и в Открытый выпуклый конус 0$ С К", не содержащий своей вершины и потому отличный от всего Мп, всегда можно пред-ставить в виде <2о~ = С хМ где С - острый (т.е. не содержащий прямых) конус, и 0 к < п. В связи с этим все пространство можно представить как декартово произведение лилейных пространств Вп = Яп х Вк. Выпуклый острый конус С открыт в евклидовом пространстве и следовательно, слабейшая топология, которую он индуцирует в Вп~к. является евклидовой. Поэтому в Яп~к за базу топологии можно принять все (п — &)-мерные открытые шары В. Соответственно в Яп базой топологии будут “трубчатые” окрестности В х Вк подпространства Вк и их трансляты. Следовательно, топологическое пространство Яп допускает разложение Яп = Яп~к х Як, где Як есть -мерное линейное пространство с антидискретной топологией. Все аксиомы линейной кинематики выполнены. Подчеркнем, однако, что всюду в этом разделе речь