Равновесия в многошаговых и повторяющихся играх

• Автор: Егорова, Анастасия Анатольевна
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 108 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Г Л А В А I. Новые классы равновесий по Нэшу в
повторяющихся играх
§1. Повторяющаяся биматричная игра
§2. Повторяющаяся игра п лиц
Г Л А В А II. Сильное равновесие по Нэшу в
многошаговых и повторяющихся играх
§1. Бесконечная многошаговая игра
§2. Бесконечная повторяющаяся игра
ГЛАВА III. Новые классы равновесий по Нэшу в
общих многошаговых играх
§1. Псевдоповторяющаяся игра п лиц
§2. Равновесие в многошаговой игре двух лиц
ГЛАВА IV. Исследование повторяющихся игр
типа поиска
§1. Простой неантагонистический поиск
§2. Игра поиска с выигрышем прячущего г
§3. Неантагонистический поиск парами
§4. Неантагонистическая игра псевдопоиска
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
ВВЕДЕНИЕ
Основой проблематики теории игр является выработка применительно к тому или иному классу игр принципов оптимальности и установление связей между математическими свойствами игр и их классов, с одной стороны, и математическими свойствами реализаций для них этих принципов оптимальности — с другой[4].
Наиболее слабой формой таких связей является реализуемость принципов оптимальности, а наиболее сильной формой полное перечисление таких реализаций, которые и являются ’’решениями” игр в соответствующем смысле. Решение задач каждого из этих типов — описание оптимальности, установление ее реализуемости и нахождение свойств реализаций, вплоть до исчерпывающего перечисления этих реализаций, — требует преодоления значительных математических трудностей как концептуальных, так и технических [5].
Основой большинства принципов оптимальности в бескоалиционных играх является устойчивость в игре. Ситуация х в игре Г называется устойчивой для коалиции К С I (или иначе — /1-оптимальной), если одновременное отклонение игроков из коалиции К от их стратегий, входящих в множество X, не улучшает положения коалиции К. При этом возможны различные варианты понимания этого неулучшения: неувеличения выигрыша сразу для всех игроков, входящих в К; неуве-личение суммарного выигрыша игроков из К; возможность увеличения выигрыша одних игроков из К (оптимальность по Парето для коалиции К). Если коалиция К состоит из единственного игрока i, то все варианты приемлемости совпадают.
Если набор состоит из всех отдельных игроков, то устойчивая ситуация называется равновесной (по Нэшу) [4].

Каждый принцип оптимальности, сформулированный для того или иного класса игр, представляет для каждой конкретной игры из этого класса практический интерес лишь в том случае, когда он реализуем, то есть когда в этой игре существуют исходы, удовлетворяющие этому принципу оптимальности. Именно поэтому один из теоретических вопросов, относящихся к использованию принципа оптимальности в данном классе игр, состоит в выяснении реализуем ли он для каждой игры из этого класса или нет и при соблюдении каких дополнительных условий эта реализуемость будет иметь место.
В теории игр имеется широкое семейство принципов оптимальности. Одним из наиболее распространенных в некооперативной теории игр является равновесие по Нэшу.
Дадим определение равновесия по Нэшу, сформулированное им в 1950 году [23,33], поскольку данная работа посвящена нахождению классов равновесий по Нэшу.
Определение. Определил* бескоалиционную игру как систему
Г =< {г}гбДГ >>
е которой N = {1,2
Упорядоченный набор стратегий х = (яд
В результате получаем ситуацию (ад

иі{Р3і) = Ь, если Р{ П 1гя 1 ф 0,§ < в,
(иіТ = < щ[Р{) = ж*, если Р/ П8 ф_ 0,Р/ П /і* 1 = 0,5 < 5, (2-11)
„ «і(-Р/) = х'і, если Р/ П — 0.
Смысл стратегий состоит в том, что игра С развивается таким образом , что:
1) если игрок находится на отрезке пути от і шага до включительно, то і-й игрок должен на данном шаге выбрать альтернативу 1р,
2) если игрок находится в пучке ранга в, на шагах > в , тогда он должен придерживаться стратегий ж*, обеспечивающих ему равновесие по Нэшу в одношаговой игре Г;
3) если игра отклоняется от пучка ранга ь, то игрок г должен выбрать стратегию наказания хі , оптимальную для игры Гуд-г-
Теорема 2.1 Если выполняются условия
Аі л Ах
Ах Р и
(2.5)
и выполняется неравенство
А і + (.К — в) А, > шаха)
І1,ї2
+ (К — в)Уг (2.13)
для всех г = 1, гг, то ситуация ((и1)*