Качественный анализ матричных уравнений движения

• Автор: Патрушева, Марина Витальевна
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 67 с.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение
Глава I Топологическая структура отображений,
определяемых дифференциальными уравнениями,
и устойчивость
§1. Фундаментальная система решений и ее свойства
§2. Метод вариации произвольных постоянных и
его обобщения
§3. Матричные критерии устойчивости
Глава II Двусторонние матричные уравнения
§4. Структура фундаментальной системы решений
дифференциальных уравнений
§5. Теория возмущений двусторонних
матричных уравнений
§6. Критерий устойчивости двусторонних
матричных уравнений
Глава III Численные методы исследования двусторонних
матричных уравнений
§7. Численные методы построения
фундаментальной системы
§8. Консервативные численные методы
§9. Сходимость, точность и устойчивость
численных методов
Заключение
Библиография

ВВЕДЕНИЕ
Для решения вопроса об устойчивости линейных однородных систем дифференциальных уравнений в нормальной форме используют обычно второй метод Ляпунова.
Пусть дана система
Нулевое решение этой системы асимптотически устойчиво по Ляпунову и устойчивость является экспоненциальной тогда и только тогда, когда существуют две квадратичных формы У(х},
При этом V является определенно положительной квадратичной формой, Ж - определенно отрицательной квадратичной формой. Уравнение (2) для матриц квадратичных форм V иЖ дает соотношение
где Р есть матрица коэффициентов системы (1).
Матричное уравнение (3) обладает тем характерным свойством, что искомая матрица А входит в него как левосторонний множитель, так и правосторонний множитель. В этом смысле будем называть такие уравнения двусторонними. Они возникают в механике, электродинамике, в топологии, определяемые дифференциальными уравнениями.
В настоящем исследовании основное внимание уделено развитию математических методов качественного анализа таких уравнений, а также аналитическому представлению их решения и развитию численных методов их построения.

— + Р*А + АР = В,

Актуальность этих исследований определяется тем, что до настоящего времени уравнение Ляпунова окончательно не изучено.
Среди новых результатов, которые получены в ходе исследования можно указать на аналитическое представление решений, на новый критерий устойчивости, распространение теоремы Лиувилля и теоремы Флоке на матричные уравнения.
Известно, что матричные уравнения всегда можно свести к обыкновенным дифференциальным уравнениям в нормальной форме. Однако, это сведение не позволяет развить математический аппарат, учитывающий специфику двусторонних матричных уравнений. При переходе к нормальной форме эта специфика исчезает. Главным обстоятельством в аналитическом представлении решений является то, что матрицы начальных условий слева и справа умножаются на матрицы, являющиеся фундаментальными системами решений для уравнений порядка п. В то время как переход к системам в нормальной форме приводит к размерности систмемы п2. Такой аналитический вид решений привел к рассмотрению весьма интересной задачи линейной алгебры. А именно, даны два полинома одинакового порядка, требуется построить полином, корнями которого будут суммы корней первого и второго из заданных полиномов. Разрешение такой задачи связано с разрешением проблемы устойчивости матричного двустороннего уравнения с постоянными коэффициентами.
В завершении сказанного полезно напомнить, что второй метод Ляпунова связан с исследованием некоторых функций, вычисляемых на движениях заданных систем уравнений без иньегрирования этих систем. Эти исследования приводят к решению вопроса об устойчивости, об асимптотической устойчивости невозмущенных движений, а также к исследованию качественного поведения движений в окрестности установившихся траекторий. При этом при формулировании второго

у£1А*= 0.
Л сії

Откуда получаем Р +Р=0. Следовательно, матрица Р является кососимметрической.
В этих выкладках использовано свойство обратной матрицы, состоящее в том, что левая обратная матрица совпадает с правой обратной матрицей. Следовательно, из У У=Е вытекает УУ Е. То есть транспонированная матрица У" является как левой, так и правой обратной матрицей.
Теперь остается показать, что справедливо обратное утверждение, если матрица Р - кососимметрическая, то фундаментальная матрица У(Оо) будет ортогональной.
Обозначим через У и , Уп столбцы матрицы У(У/о). Каждый столбец этой матрицы является решением исходной системы. Следовательно,
сіУ,
—L = РУ,

и, кроме того, при і=Е У, обращается в единичный вектор, все компоненты которого нулевые, кроме одной, равной единице, имеющей номер у.
Умножим скалярно это соотношение на вектор У). Тогда получим
-—(У л2 =у*РУ.

Покажем, что справа стоящее число есть нуль. Это число не будет
меняться, если мы его транспонируем
$ $ * =£
(Г; РУ1) = У; Р У/.
Откуда вытекает
* 4с
-УІРУІ=УІРУ,

Следовательно, У/ РУ/ = 0, причем это равенство тождественно при всех ґ и Ґ0. Из этого вытекает, что скалярный квадрат вектора У, сохраняет постоянное значение, а именно