О некоторых арифметических задачах, связанных с героновыми треугольниками

• Автор: Кожегельдинов, Сагдулла Шаяхметович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 107 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
0. Введение
1. Общие формулы основных ГТ и их эквивалентность
§1.1. Основные ГТ
§1.2. Отыскание основных ГТ
§1.3. Эквивалентность общих формул основных ГТ
§1.4. Следствия
2. Некоторые арифметические задачи, связанные с основными ГТ
§2.1. Диофантовы уравнения, связанные с общими формулами основных ГТ
§2.2. Решение диофантова уравнения Ы(ас2 — М2)
2с(ас2 — ЬсР,, М2(а + 5))
§2.3. Наибольшая й наименьшая стороны основного ГТ
§2.4. О некоторых основных тиановых треугольниках
§2.5. Леммы о делимости на 3
§2.6. Бескончность множества основных ГТ, у которых
ни одна сторона не делится на
3. Некоторые арифметические задачи, связанные с общими формулами ГТ
§3.1. Общие формулы ГТ и их частные случаи
§3.2. Эквивалентные формулы, связанные с общими
формулами ГТ
§3.3. О задаче Курциуса
§3.4. О ГТ, площадь каждого из которых равна его
периметру
Литература

Введение
Рассматриваются задача Герона и некоторые арифметические задачи, связанные с ней,
Задача Герона является классической. В ней требуется найти все треугольники, у каждого из которых стороны и площадь выражаются натуральными числами. Такие треугольники называются героновыми треугольниками (ГТ). ГТ (ж, у, г; 5), где х,у, г - стороны, 5 - площадь, называется основным, если (х,у,г) = 1, т.е. если х, у, 2 - взаимно простые числа.
Задача Герона является естественным обобщением задачи Пифагора и отличается от нее тем, что наличие прямого угла заменено требованием целочисленности площади.
Прямоугольный треугольник, стороны которого выражаются натуральными числами, называется пифагоровым треугольником (ПТ). Отметим, что всякий ПТ является ГТ. Обратное утверждение неправильно: не каждый ГТ является ПТ.
В дальнейшем, если нет специальной оговорки, то история вопроса излагается в соответствии с [12].
Еще Герону, который вывел хорошо известную формулу для площади треугольника, выраженную через длины его сторон, были известны ГТ со сторонами 13,14,15 и 5,12,13, площади которых соответственно равны 84 и 30.
Брахмагупта (род. в 598 г. н.э.) заметил, что для любых рациональных чисел а, Ь и с величины
являются длинами сторон косоугольного треугольника (высоты и площадь которого рациональны и который образован из двух прямоугольных треугольников с общей стороной а).
(0.1)
Отысканием рациональных треугольников (РТ) занимались С.Ж. Баше, Ф. Виёт, Франс ван Шутен, Н. Генкеи, Дж. Канлифф, Дж. Дэви, С. Джилл,' А. Кук, Т. Бейкер, С. Холт, Дж. Андерсен, К.Л.А. Кунце и другие. Но наибольший интерес представляет работа Эйлера.
Л. Эйлер заметил, что в любом треугольнике с рациональными сторонами а, Ь, с и рациональной площадью выполняется следующее соотношение:
а : Ь с = ——дГрГ Т д р2 +д2 + (0 2)
руге pq гв ’
при этом каждая пара сторон образует отношение двух чисел
а2 + /32 а/3
поскольку
г2 + в2 х2 + у2
а : о = : ,
гз ху
если х = р« ± дг, у — рг Л 5«, откуда х2 + у2 = (р2 + Часть работы Эйлера, в которой содержится его вывод соотношения (0.2), утеряна. Вероятно, что Эйлер использовал метод Баше совмещения двух прямоугольных треугольников, используя треугольники со сторонами
р2 + я2 р2 ~ я2 ~ г2 7,2 — ®2
’ Р9 ’ Р(1 ’ ’ г« ’ гв ’
и получая соотношение (0.2) с верхним или нижним вариантом знаков в зависимости от того, накладываются друг на друга или нет компоненты этих треугольников. (Опубликовано в 1849 г.).
Б. Иейтс для отыскания треугольников с целочисленными сторонами, площади и периметры которых равны между собой, выбирал, в соответствии с соотношением (0.2), стороны треугольника равными
рд{г2 + в2) Г5(р2 + д2) {рв + дг)(рг — дз)
п ’ п п

У = 150, 2 = 145, 5 = 4248. Так как (59,150,145) = 1, то ГТ (59,150,145; 4238) - основной.
Доказательство теоремы 1.1 Пусть (х, у, г; 5) - любой основной
ГТ. Так как (х,у,) = 1, то в силу леммы 1.1 имеем
(и + V, V + ги, IV + и) = 1. (1.20)
Пусть (и,ь) = I. Тогда
и = а£, V = Ы, (1.21)

(а, Ь) = 1. (1.22)
Равенство (1.20) в силу (1.21) принимает вид
(а1 + Ы, Ы + ъи, но 4- а{) = 1. (1-23)
Из (1.23) следует, что
(*»,!) = 1. (1.24)
Поэтому найдутся взаимно простые числа с и с?, такие, что будут иметь место равенства
ЪсР(а 4-5) _ ас2 — ЬсР
'Ш (ас2 — Ь(12, Ьс12(а + Ь)) ’ * (ас2 — ЬсР, Ьс12(а + Ь)) ’

а, 6, с, 6Е М, ас2 > М2, (а, 6) = (с, с?) = 1 (1.26)
в силу (1.22) и сказанного выше. Числа ш и <, определенные
равенствами (1.25), удовлетворяют условию (1-24) и, следовательно, являются взаимно простыми.