Представления простой супералгебры В(1,2)

• Автор: Трушина, Мария Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 62 с.

Содержание
Введение
1 Основные определения
2 Йордановы представления с.а. 5(1,2) в случае нулевой характеристики
3 Йордановы представления супералгебры 5(1,2) в случае конечной характеристики р ф
4 Неприводимые супербимодули типа
5 Неприводимые супербимодули типов 2 и
6 Неприводимые супербимодули типа
7 Неприводимые альтернативные супербимодули над альтернативной супералгеброй 5(1,2)
8 Построение альтернативных неразложимых представлений
9 Йордановы неразложимые супербимодули над 5(1.2)
Литература

Введение.
Изучение алгебр и их представлений (модулей) является классическим направлением алгебраических исследований. Линейные представления играют важную роль при изучении конечных групп [14], компактных топологических групп [10] , тождеств, выполняющихся в данной алгебре [12]. В рамках структурной теории конечномерных алгебр был выработан общий подход к их изучению. Для важнейших классов алгебр (ассоциативных, лиевых, альтернативных, мальцевских и йордановых) доказано, что каждая конечномерная алгебра над хорошим полем является прямой суммой разрешимого радикала и полупростой подалгебры; полупростая компонента является прямым произведением простых идеалов.
Заметим, что радикал алгебры (как и произвольный ее двусторонний идеал) является модулем над полупростой компонентой.
Первым классом неассоциативных алгебр, подвергшихся серьезному и систематическому изучению, являются алгебры Ли. Описание простых конечномерных алгебр Ли можно найти, например, в монографии [2]. Хорошо известна теорема Г.Вейля о полной приводимости представлений любой полупростой конечномерной алгебры Ли над полем характеристики 0. Аналог этого результата справедлив и для других многообразий алгебр, в частности, альтернативных и йордановых.
Классическим примером альтернативной неассоциативной алгебры является алгебра чисел Кэли, построенная еще в 1845 г. Эта алгебра и ее обобщения — так называемые алгебры Кэли-Диксона — играют важную роль в теории альтернативных алгебр: конечномерная простая альтернативная алгебра либо ассоциативна, либо есть алгебра Кэли-Диксона над своим центром [22]. Р.Д.Шейфер [21] и Н.Джекобсон [17] описали строение альтернативных бимодулей над конечномерными альтернатив-
ными алгебрами: если А - конечномерная альтернативная алгебра, М — точный неприводимый альтернативный А-бимодуль, то либо М — ассоциативный бимодуль над ассоциативной алгеброй, либо М — регулярный бимодуль над алгеброй Кэли-Диксона, либо М — бимодуль Кэли над алгеброй обобщенных кватернионов.
Структура неприводимых представлений простых йордановых алгебр была описана около 50 лет назад Н.Джекобсоном [18].
Таким образом, всякий модуль над простой конечномерной алгеброй является прямой суммой неприводимых компонент, структура которых полностью описана. К настоящему времени по модулю простых ассоциативных описаны простые альтернативные, мальцевские и йордановы алгебры без ограничения на размерность [3], [13], [4].
В последние два десятилетия наметился серьезный интерес к изучению супералгебр. Каждая супералгебра является объектом, состоящим из обычной алгебры и модуля над ней. Особый интерес представляют простые супералгебры, в которых соединены некоторым естесственным образом простая алгебра и ее неприводимое представление. Целесообразность изучения супералгебр в значительной степени связана с возможностью их использования при решении известных теоретико-кольцевых проблем. Так с помощью супералгебр А.Р.Кемер [8] решил проблему Шпехта(появилась возможность сводить полилинейные тождества к тождествам от меньшего числа переменных). Е.И.Зельманов решил проблему А.И.Ширшова о разрешимости йордановых ниль-алгебр ограниченного индекса над полем характеристики 0 [5], показав, что не существует соответствующих первичных супералгебр. В работе [б] Е.И.Зельманов и И.II.Шестаков доказали нильпотентность квазирегулярного радикала свободной альтернативной алгебры над полем нулевой характеристики

Следовательно, на основании леммы 11 минимальный многочлен оператора (р имеет вид
МО “ е - А,
базисом компоненты М0 являются элементы тд,тд(р,т01р2
т0Х2р~1 = т0Х2р~2[Х2, У] = Ат0у - (Ь - 1)т0Х2р~1,
откуда
т0у = А~16пг0А'2р“1.
Заметим, что соотношения (15)-(17) позволяют вычислять действия элементов с.а. В( 1,2) на модуле М, нечетная компонента которого линейно порождается элементами т0Х, т.0Х3,.. , тдХ2р~1. Докажем, что эти элементы линейно независимы. Пуств
агт0Х У аШоХ У * * У 0Ср7ПдХ~р ~ 0.
Подействуем оператором X на обе части этого равенства:
очт0(р + а2т0(р2 У 1- Аарт0 — 0.
Из линейной независимости векторов тд,тд1р,.. , тор*1“1 вытекает равенство нулю всех скаляров а.
Остальные равенства, указанные в формулировке доказываемой леммы, справедливы по лемме 9.
Осталось показать, что модуль М неприводим. Допустим, что N -ненулевой подмодуль в М. Тогда ЛУ является Ф-подмодулем в Мд. Поскольку Ыд отличен от нуля, то в силу леммы 11 его размерность должна быть не меньше р, значит,
Ыд — Мд.