Соотношения в линейных группах

• Автор: Коробов, Алексей Александрович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 54 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава 1. Характеризация растяжений, представимых в произведение
независимых простых преобразований
§ 1. Определения и предварительные результаты
§ 2. Характеризация растяжений, обладающих симплектическим разложением ... 16 Глава 2. Базы тождеств некоторых треугольных линейных групп §1.0 треугольных группах, определяемых бинарными
отношениями
§ 2. Об унитреугольных группах с линейно зависимой первой диагональю
Глава 3. Соотношения, зависящие от выбора категории групп
§ 1. Тождества алгебр Ли и нильпотентных групп без кручения
§ 2. Описание многообразий лиева типа
§ 3. Критерии существования периодических, разрешимых и нильпотентных дополнений нормальных подгрупп в алгебраических линейных группах
Литература
ВВЕДЕНИЕ
В современной теории групп весьма заметное место занимают группы преобразований, в том числе линейные группы, а также группы автоморфизмов различных алгебраических систем. Кроме того, многие интересные примеры групп возникают именно как группы преобразований (см. [16]).
Диссертация посвящена исследованию разного рода соотношений между определенными элементами групп автоморфизмов векторных пространств над телами. А именно, исследуются задачи, связанные с вычислением ширины таких групп относительно различных множеств порождающих, исследуется возможность переноса заданных соотношений с фактор-группы в саму группу, исследуются задачи описания всех тождественных соотношений таких групп.
В первой главе диссертации фиксируется множество автоморфизмов ,5' векторного пространства над телом и рассматривается следующая проблема: для группы б? с порождающим множеством 5 найти наименьшее т €'N11 {+°°} такое, что всякий элемент из б? представим в виде произведения < т элементов из 5 . Следуя Ю.И.Мерзлякову [15] будем называть такое т шириной группы С относительно множества 5 и обозначать vicl (б?, й1). В классическом случае, когда О — группа всех невырожденных преобразований над полем, 5 — множество всех простых преобразований, vicl (бг, 5) — размерность подлежащего векторного пространства.
В случае, когда С — группа всех автоморфизмов свободного модуля М над локальным (коммутативным) ассоциативным кольцом К с единицей, Еллерс и Лауш оценили ширину группы С? относительно множества 5 всех простых автоморфизмов через размерность модуля [31]. Если же Л — кольцо целых чисел, то, как показал В.Г.Бардаков [3], vicl (б?, 5) < 2(сПт М) +
Много работ посвящено вычислению ширины матричных групп относительно различных множеств порождающих. Перечислим некоторые из них. Картер и Келлер [27] доказали, что ширина группы 8ЬП(11), п > 3 , где К — кольцо целых чисел алгебраического числового поля, относительно множества элементарных трансвек-ций конечна. К.Х.Закирьянов [8] установил конечность ширины симплектической группы Зр2п(И), п > 3, относительно множества элементарных матриц. Аналогичные результаты для некоторых групп Шевалле над тем же кольцом В. получил О.Н.Тавгень [21]. С другой стороны, Ван дер Каллен [38] доказал, что если Р — поле бесконечной степени трансцендентности над своим простым подполем, то группа

SL„(.F[x]) при n > 2 имеет бесконечную ширину относительно множества элементарных трансвекций.
В случае, когда основное кольцо R — это некоммутативное тело, рассматривалась задача вычисления ширины классических групп относительно естественных порождающих множеств (см. [30], [34]). Эта задача возникла в связи с нуждами проективной геометрии. Отказ от коммутативности тела R связан с тем, что координатное кольцо проективного дезаргового пространства является телом, вообще говоря, некоммутативным. Ширина группы GL(R) относительно простых преобразований остается равной dim У для любого тела R (см. [6], гл. III, § 2, предложение 1). В ряде задач проективной геометрии, например, при характеризации автоморфизмов полной группы преобразований проективного пространства, важную роль играют абстрактные теоретико-групповые свойства преобразования, которые позволяют сделать заключение о его геометрических свойствах. В случае, когда тело R — поле, длинна отдельно взятого преобразования является примером характеристики, которая выражается на языке абстрактной теории групп. Это наглядно показывает теорема Дьедонне, которая утверждает следующее: каждое нетривиальное преобразование с вычетом т из SL(V), не являющееся большой дилатацией, представимо в виде произведения т трансвекций, а меньшего числа трансвекций не достаточно; большая дилатация из SL(V) представима в виде произведения т + 1 трансвекций, причем это число нельзя уменьшить (см. [18], теорема 2.1.8).
В группе всех автоморфизмов векторного пространства над произвольным телом под специальной линейной группой подразумевают подгруппу, состоящую из всех преобразований с определителем Дьедонне равным единице. Тем не менее, Фадке установил, что в случае некоммутативного тела теорема Дьедонне не верна: в специальной линейной группе появляются такие преобразования с вычетом 1, которые нельзя представить в виде произведения двух трансвекций [35]. Год спустя Фадке указал простое преобразование, которое представимо в виде произведения трех отражений, но не представимо в виде произведения двух отражений [36]. Назовем все такие растяжения исключительными. Все растяжения, разложимые в произведение трех трансвекций, а также все растяжения, разложимые в произведение трех отражений были охарактеризованы Дьяковичем [29]. Отметим, что каждое разложение исключительного растяжения обладает следующим свойством: вычетные прямые сомножителей образуют симплекс в подпространстве, порожденном ими. Поэтому вполне естественно, что в первой главе диссертации вводится в рассмотрение понятие симплектического разложения и дается полное описание простых преобразований, имеющих симплектическое разложение. Для того, чтобы сформулировать основной результат первой главы более точно, введем необходимые определения.
Напомним, что нетождественное преобразование s векторного пространства V

некоторого нетривиального элемента ядра, но которое записывается в произведение п -буквенных коммутаторов. Тогда
гг(1 + = 1 + Ху гтга1 а Хпо , (2-14)
где не все тост равны нулю.
По условию X — система свободных образующих алгебры Ли Ьп(А). По предыдущему, отображение Ха —Э ха — е продолжается до гомоморфизма алгебр Ли. Пополним обе алгебры Ли единицами и распространим на них это отображение, посылая 1 в е. Ясно, что мы получили гомоморфизм пополненных алгебр Ли. Применяя этот гомоморфизм к обеим частям равенства (2.14) и переходя к ассоциативной записи, получаем
Д(З'а') С ф £п,п<г,тЫ1 ;
ГДв '}ог — (*Га)г,г‘4-1
Поскольку ю(ха) = е, то фиксируя какой-нибудь 5 € Л и выражая через £г> > ъ Ф *5 , приходим к уравнению
к У <71,1а * £,к,$<т £п,п<т ~ 0* (2.15)
зфк£ А
Любые два одночлена из разных слагаемых внешней суммы отличаются единственными первыми индексами, которые в них встречаются дважды, поэтому уравнение (2.15) равносильно системе
П.<71Д<г к,э(т £п,па — 0} & £ Л. ‘(й)'.
<7£Зп
Приводим подобные слагаемые и получаем
гп(кв)а = -та , сгеБп, А;бЛ{з}.
Поскольку транспозиции (кв) порождают Яд, то
ТПта = (т)та , т € Яд , <т е яп
Это означает, что гг(1 + Ха) = е вопреки предположению. Лемма доказана.
Лемма 2.17. Пусть к —бесконечное поле, П —универсальная область, его содержащая. Пусть С < 11Тп(к) и множество Уа выделяется в кп~х линейной формой / и а ст(/). Если группа матриц степени п над к и типа а порождает многообразие чагиТп(П), то группа О порождает то же самое многообразие.
Доказательство. Пусть ха , а е N, — набор независимых общих точек группы матриц степени п над П и типа а, содержащей группу й. Тогда, по условию, группа X = гр (хаа — свободная группа многообразия уаг11Тп(П). Для доказательства леммы достаточно показать, что если слово гг свободной группы не является тождеством на X, то гг не является тождеством на О.
Пусть р — показатель поля к, и гг = с£ 1г1 ‘п — запись через базисные
коммутаторы и (р,?’г) = 1 . Обозначим /5(сг) —вес базисного коммутатора с,-. Пусть
7 = тт{/3(с;)рт’|г; ф 0}.