Напряженное состояние плоских областей с негладкой границей : Точные решения, особенности и геофизические приложения

• Автор: Коваленко, Михаил Денисович
• Шифр специальности: 25.00.10
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 251 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
1 Преобразование Бореля в классе Ш квазицелых
ф функций
1.1 Класс ¥ квазицелых функций
1.2 Равенства типа Парсеваля
1.3 Примеры
1.4 Обобщения
1.5 Выводы
2 О базисных свойствах систем однородных решений
2.1 Биортогональная система функций
2.2 Разложения Лагранжа по однородным решениям
2.3 Разложение Лагранжа по другим системам
однородных решений
^ 2.4 Выводы
Приложение к главе 2
3 Биортогональные разложения по однородным
решениям теории упругости
3.1 Формулировка краевой проблемы
3.2 Решение краевой задачи
3.3 Перемещения
3.4 Антисимметричная деформация полосы
3.5 Решение для прямоугольника
3.6 Примеры биортогональных разложений по
0 однородным решениям
3.7 Выводы
Приложение к главе 3
4 Смешанные краевые задачи теории упругости

4.1 Смешанная краевая задача для гармонического
оператора в полосе
4.2 Стык двух полуполос
4.3 Полоса с разрезом
Ш 4.4 Выводы
Приложение к главе 4
Заключение
Литература

. ВВЕДЕНИЕ
Введение
Целью работы является метод решения некоторых классиче-

ских краевых проблем плоской теории упругости для конечных областей с негладкой границей.
Теория упругости играет фундаментальную роль в геофизике. Между тем, круг задач, для которых получены точные решения, незначителен. Причем, нет точных решений для наиболее важных краевых задач: для конечных областей с угловыми точками границы и точками смены типа граничных условий.
Если задаться вопросом, почему более 100 лет не удавалось построить решения фундаментальных краевых задач теории упругости, например, для прямоугольника с заданными на его сторонах напряжениями, то кратко ответить на него можно так: наличие конечного характерного размера (например, ширина прямоугольной полосы) приводит к тому, что угловая точка обладает двойственной природой. С одной стороны, она остается подобной всем остальным точкам области, то есть обладает всеми характеристиками, приписываемыми ей в рамках механики деформируемого твердого тела. А с другой стороны, она ведет себя как математическая точка, то есть просто как элемент, бесконечно малый по сравнению с характерным размером области. Иными словами, как элемент микроуровня.
Необходимо было построить математический аппарат, способный учитывать эту двойственность. Таким аппаратом является теория преобразования Бореля в классе У квазицелых функций экспоненциального типа, развитая в первой главе диссертации.
Во второй главе, на основе этого аппарата, изучены базисные свойства систем однородных решений теории упругости и построены, так называемые, разложения Лагранжа по однородным решениям, играющие фундаментальную роль в решении краевых задач теории упругости.
В третьей главе дается метод решения краевых задач плоской

2 О БАЗИСНЫХ СВОЙСТВАХ ОДНОРОДНЫХ РЕШЕНИЙ
Откуда для каждого А„ получим следующее обыкновенное дифференциальное уравнение относительно функции .^(А)
эквивалентно самоуравновешенности функции(1.5)). Решение неоднородного уравнения можно представить в виде [14]

Пользуясь разложением Миттаг-Леффлера [114] для мероморф-ной функции, стоящей под знаком интеграла, можно получить другое представление для функции ^(А)
Оба ряда в формуле (1.14) равномерно сходятся и представляют собой функции интегрируемые с квадратом на всей оси. Поэтому 5г/(А) £ оо, оо). Причем, поскольку членами второго ряда являются целые функции экспоненциального типа равного 1 из Ьч{—оо,оо), то его сумма также целая функция с теми же свойствами. Следовательно, по теореме Пэли-Винера [3,18], образ Фурье суммы второго ряда — финитная функция с носителем на |у| < 1 из 1,1). Преобразование Фурье суммы второго ряда легко находится и имеет вид
Решение однородного уравнения (1.12) равно const (что

(1.13)

(1.15)