Минимум энтропии измерений как вычислимая мера запутанности многочастичных квантовых состояний

• Автор: Чернявский, Андрей Юрьевич
• Шифр специальности: 05.27.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 130 с. : ил.

Введение

1 Меры многочастичной квантовой запутанности

1.1 Формализм квантовой запутанности

1.1.1 Локальные кван товые преобразования

1Л .2 Необходимые свойства мер квантовой запутанности

чистых состояний

1.2 Запутанность двухчастичных состояний

1.2Л Разложение Шмидта и энтропия фон Неймана .

1.2.2 Матричное V i V ii разложение

1.2.3 Изменение двухчастичных состояний под действием

1.2.4 Сложность перехода к многочастичным состояниям

1.3 Многочастичная запутанность.
1.3.1 Формализм i
1.3.2 Известные меры многочастичной запутанности чистых состояний
1.4 Мера запутанности чистых квантовых состояний Ецттп
1.4.1 Энтропия Шеннона и ее свойства.
1.4.2 Определение i.
1.4.3 i как мера запутанности чистых квантовых состояний
1.4.4 Монотонность относительно локальных ортогональных измерений.
1.4.5 Прочие свойства меры i.
1.4.6 Свойства, связанные с расширением пространства
состояний кудигов.
1.5 Мера запутанности многофермионных состояний.
1.5.1 Введение.
1.5.2 Определение запутанности многофермионных состояний .
1.5.3 Критерий незапутаиности многофермионных состояний
1.5.4 Разложение Слэйтера
1.5.5 Мера Ецтгп для многофермионных состояний и ее
свойства.
Вычисление меры запутанности, основанной на минимизации энтропии измерений
2.1 Постановка задачи.
2.1.1 Параметризация унитарных матриц
2.2 Выбор метода оптимизации
2.2.1 Генетические алгоритмы.
2.2.2 Реализация ГА для вычисления Ец1Шп.
2.2.3 Островной ГА.
2.2.4 Оптимизация роем частиц
.5 Случайные мутации
2.2.6 Тестирование на стандартных функциях
2.2.7 Тестирование на задачах вычисления Ецт1п
2.3 Программный комплекс
2.3.1 Структура программного комплекса.
2.3.2 Библиотека работы с комплексными матрицами и
параметризации унитарных матриц
2.3.3 Библиотека работы с квантовыми состояниями .
2.3.4 Библиотека алгоритмов оптимизации
2.3.5 Библиотека для решения различных задач оптимизации для квантовых состояний .
2.3.6 Оптимизация вычислений.
2.3.7 Оптимизация локальных унитарных преобразований
2.4 Вычисление на графических адаптерах.
2.4.1 Введение.
2.4.2 Технология тМсНа С1ША
2.4.3 Вычисление меры запутанности для многокубит
ных состояний с использованием технологии гМсИа СиЭА.
2.4.4 Результаты.
3 Результаты вычислений
3.1 Запутанность обобщенных состояний.
3.2 Запутанность в алгоритме Гровера
3.2.1 Введение.
3.2.2 Динамика ii в алгоритме Гровера
3.2.3 Зависимость запутанности от числа кубитов
3.3 Флуктуация мпогочастичной квантовой запутанности .
3.3.1 Введение.
3.3.2 Флуктуация многочастичной запутанности обобщенных и состояний
3.3.3 Флуктуация мпогочастичной запутанности в алгоритме Г ровера
3.4 Запутанность двучастичных состояний, эволюционирующих под действием случайных преобразований.
3.4.1 Зависимость двухчастичной запутанности от числа,
кудитов
3.4.2 Зависимость двухчастичной запутанности от размерности кудитов
3.4.3 Зависимость запутанности от размерностей подсистем
3.4.4 Зависимость динамики запутанности от числа кудитов, задействованных в преобразованиях
3.4.5 Общая картина динамики запутанности при случайных преобразованиях .
3.5 Запутанность и флуктуация запутанности чистых много
кудитных состояний со случайными амплитудами
3.5.1 Зависимость меры Ент,п и ее флуктуации от числа
кубитов
4 Проверка гипотез о мере запутанности при помощи методов оптимизации
4.1 Численная проверка утверждений
4.1.1 Численная проверка теоремы об эквивалентности меры Ентт редуцированной энтропии фон Неймана
4.1.2 Численная проверка Леммы 1.4.
4.1.3 Численная проверка Леммы 1.4.
4.2 Неэквивалентность двухчастичной и многочастичной запутанности.
4.2.1 Постановка задачи
4.2.2 Численный метод подбора контрпримера
4.2.3 Результаты численных экспериментов
Заключение
Введение


Другим важным следствием нарушений неравенств Белла является то, что квантовая запутанность является сугубо квантовым эффектом и не может быть получена классически. Исследование различных видов неравенств Белла например, многочастичных, а также их природы и связи с квантовой запутанностью является открытым и приоритетным вопросом см. Также следует отметить, что экспериментально полученная запутанность ЭПРиар, рассматриваемая в неравенствах Белла, имеет потенциал использования в реальных приложениях з работе рассматриваются модельные задачи, использование ЭПРзапутайности при решении которых дает улучшения относительно классических корреляций. Квантовый компьютер. Как хорошо известно, в связи с экспоненциальным ростом размерности пространства состояний при увеличении числа частиц, эффективное моделирование многочастичиой квантовой механики на классическом компьютере невозможно. Исходя из этого, в году Ричард Фейнман выдвинул идею квантового компьютера компьютера, использующего в своей основе квантовые эффекты, такие, как суперпозиция и, главное, запутанность. В связи с квантовой природой, такой компьютер может быть естественным образом использован для моделирования многочастичных квантовых систем. Д. Абрамсом и С. Ллойдом , К. Залкой 9, С. Визнером 4 и некоторыми другими учеными. Впервые формальная модель универсального квантового компьютера квантовая машина Тьюринга была предложена П. Бениоффом в году и развита Д. Дойтчем . Более наглядная модель квантовых вычислений эквивалентная квантовой машине Тыорннга квантовые схемы, была предложена Д. Дойчем . Основным элементом квантового компьютера в противопоставлении биту классического компьютера является кубит i, от i i. Соответственно, состояние системы из п кубитов описывается нормированным вектором 2пмерного комплексного пространства
Щ 2
Базис г2. Иметь возможность приготавливать состояния из вычислительного базиса. Иметь возможность применять квантовые элементы унитарные операции из определенного универсального набора к произвольным кубитам. Производить измерения в вычислительном базисе. Универсальным набором операций является набор, при помощи которого можно получить любую кубитиую операцию. Теория универсальных аппроксимаций унитарных операций рассмотрена в 9. Помимо квантовой части, у квантового компьютера присутствует классическая часть, которая задает последовательность применения унитарных операций, получает результаты измерения, а также может производить вспомогательные расчеты в некоторых случаях, например, при квантовой коррекции ошибок вспомогательные расчеты могут упростить схему вычислений, хотя эквивалентные расчеты могут быть проведены и в квантовой части. Основными достижениями в теории квантовых вычислений являются алгоритм Гровера и алгоритм Шора. Алгоритм Шора 7 позволяет раскладывать числа па простые множители за время 0п3, в то время, как наилучшие классические алгоритмы позволяют делать это лишь за 0еас, где п длина записи числа. Однако, невозможность полиномиального решения на классическом компьютере не доказана. Алгоритм Гровера позволяет решать переборные задачи за время порядка 0У, в то время, как классический компьютер, очевидно, может делать это лишь за время ОуУ, где число необходимых к перебору вариантов. Алгоритмы Шора и Гровера, а также алгоритмы моделирования многочастичной квантовой механики делают квантовый компьютер одним из наиболее перспективных приборов, использующих квантовле эффекты. Роль квантовой запутанности в квантовых вычислениях. Квантовая запутанность является необходимым условием, для экспоненциального ускорения в квантовых вычислениях. Джозса и Липдеи показали, что если максимальный ранг Шмидта дискретная мера двухчастичной запутанности при квантовых вычислениях является константой не зависит от числа кубит, то такое вл числение можно за полиномиальное время смоделировать на квантовом компьютере. Более сильный результат был получен Ж. Видалом 9. Результат состоит в том, что эффективное за полиномиальное время классическое моделирование возможно, даже если максимальное число Шмидта полиномиально зависит от числа кубит.