Расчет стержневых и пластинчатых систем с использованием обыкновенных дифференциальных уравнений

• Автор: Трубаев, Александр Сергеевич
• Шифр специальности: 05.23.17
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 173 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие

Глава I. Расчет балок по методу начальных параметров.

Введение

1.1 Вывод дифференциальных уравнений для сложных балок

и их решение

1.2 Примеры
Глава II. Решение задачи Коши для обыкновенного линейного, неоднородного дифференциального уравнения с применением интеграла Лапласа.
2.1. Несобственные интегралы, функции Хэвисайда и Дирака, применение оператора Лапласа для решения дифференциальных уравнений

2.2. Пример решения начальной задачи для дифференциального уравнения.

2.3. Примеры решения двухточечных задач, при действии равномерно распределенной нагрузки и при действии сосредоточенного момента и сосредоточенных сил.
2.4. Пример решения многоточечной задачи.
2.5. Построение матриц реакций.
Глава III. Метод тригонометрических рядов. Построение матриц жесткости с использованием дифференциальных уравнений
Введение.
3.1 Построение матрицы реакций для плоской задача теории упругости
3.2 Построение матрицы реакций для пластинки, работающей на изгиб.
Глава IV. Метод В.З. Власова
Введение.
4.1. Дискретноконтинуальная модель В.З. Власова.
4.2. Построение функций 2,5 и ,2,у.
4.3. Вывод дифференциальных уравнений В.З. Власова 1
4.4. Примеры
Основные результаты и выводы.
Литература


Такой подход является наиболее обшим при построении эпюр. Если по методу Мора перемещения определяются только в отдельных точках, то метод начальных параметров даст уравнение кривой изгиба балки. При использовании метода начальных параметров производится построение сразу четырех эшор v, (р, М, Q. ЭВМ, то есть данные вводятся не сразу, а по ходу решения задачи. Программа имеет простейший вид и построена так, чтобы смысловая часть оставалась за человеком, а компьютер выполнял арифметические операции. Программа может быть легко превращена в стандартную программу, но умышленно этого не сделано, т. С помощью метода начальных параметров можно наглядно пояснить понятие критической силы и собственной частоты на примере балки. Далее аналогичные задачи будем решать для рамных стержневых систем, но это потребует более сложного специального программного комплекса (расчета стержневых систем по методу конечных элементов). В этой главе основной упор сделан на вычислительную часть метода начальных параметров. Рассматриваются различные варианты балок: балка на упругом основании, балка, при гармонических колебаниях и балка, работающая в условиях продольно-поперечного изгиба. Возможны комбинации, например, / гармонические колебания сжато-изогнутой балки на упругом основании. При написании главы использовался специальный курс строительной механики, разработанный проф. Киселевым В. Л., в котором при решении задач не использовались ЭВМ. Применение ЭВМ резко упростило и расширило возможности курса, в котором логика сохраняется за человеком, а машине передаются сложные арифметические выкладки. При применении программного комплекса МаШетайса пропадает необходимость использования функций Крылова. Рассмотрим балку на упругом основании, характеризуемом одним коэффициентом постели - модель Э. Винклера. Это основание можно трактовать как бесконечное множество пружин, не связанных между собой. За физическую характеристику винклеровского основания принят коэффициент постели к, равный силе, которую надо приложить к штампу единичной площади при смещении поверхности штампа на единицу. Размерность коэффициента постели - Н/м3 (кГ/см3). Упругое основание характеризуется погонной жесткостью кЬ (жесткость основания, собранная с ширины балки Ь). Выделим из балки элемент длиной (1х и приложим к нему положительные внешние и внутренние силы (рис. Рис. Дифференцируя дважды уравнение (1. Найдем общее решение однородного уравнения, соответствующего уравнению (1. Для решения уравнения (1. Подставим (1. Ап*) = 0. Ап4 = 0, откуда г = Aj— Ап4 = пх <2*1- 1 . Подстановка Эйлера позволяет вместо решения дифференциального уравнения решать алгебраическое уравнение. Z = —1 = —1 + 0/ = l(cos;r + /sin;r). Рис. C- . В нашем случае л/-1 = 4/i(cos;r -M'sin^r). ТГ + бтг . Л I /. Корни уравнения (1. П =(1+і)п,,г2=(-1+і)пі, г3=-(1+і)пі, г4=(1-і)п1. Далее корни повторяются. В соответствии с (1. Кощ = (cos ntx + Ї sin ntx) + с'2е ,tx(cosnlx + isinnlx) + ce(cos n{x - f sin n^x) + сіє'1' (cos «. CJ + c2) C2 ='(C! C3 =(4 +C3) C4 =і(4-Сз) (1. Подставляя (1. У„Гщ - С, в"* БШЛ,** С3С С/г,Л + С4х + с4е"‘('-'>’ -4— ¦ (1. V =~—- - ускорение. С учетом (1. ЦіД(,. Очевидно, что дифференциальные зависимости между М, () , с в балке при гармонических колебаниях будут теми же, что и в балке на упругом основании. Рассуждая по аналогии и учитывая (1. У{х,1) _ ? При нагрузке меняющейся по гармоническому закону (1. У соб^, (1. К- амплитудное значение прогиба (функция отх). Дифференцируя дважды (1. Найдем решение дифференциального уравнения (1. Общее решение однородною уравнения (1. Подставим (1. Вычислим л/ї, для чего запишем единицу в виде комплексного числа в алгебраической форме и далее переведем его в тригонометрическую форму (рис. Ю = і(собО + /5ІпО) . Рис. Для извлечения корня четвертой степени из единицы воспользуемся формулой Муавра (1.