Численное решение дифференциально-алгебраических уравнений высоких индексов

• Автор: Балакина, Екатерина Александровна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 164 с.

СОДЕРЖАНИЕ

2. Методы исследования дифференциальноалгебраических

систем уравнений

2.1.онятие о дифференциальноалгебраических

системах уравнений.

2.2. Методы исследования сингулярных систем уравнений.

2.3. Методы исследования дифференциальноалгебраических уравнений индексов0и1.

2.4. Методы исследования дифференциально алгебраических уравнений индекса 2.

2.5. Методы исследования дифференциальноалгебраических уравнений индекса 3.

3. Начальная задача для системы дифференциальноалгебраических уравнений как задача продолжения решения

по наилучшему параметру

3.1. Дифференциальноалгебраические уравнения
индексов 0 и 1
3.2. Дифференциальноалгебраические уравнения индекса 2.
3.3. Дифференциальноалгебраические уравнения индекса 3.
3.4. Примеры
4. Кинематические уравнения Эйлера.
4.1. Введение. Постановка задачи
4.2. Методы регуляризации кинематических уравнений Эйлера
с плохо обусловленной матрицей
4.3. Сведение системы кинематических уравнений Эйлера
к системе дифференциальноалгебраических уравнений индекса 2.
4.4. Анализ численных решений кинематических уравнений Эйлера,
полученных при помощи различных преобразований.
Примеры
5. Заключение.
Литература


Также в [] были сформулированы и доказаны теоремы о существовании и единственности (или не единственности) решения, дифференцируемости. Такой подход позволял преодолевать трудности, возникающие при инте1'рировании вырожденных систем (2. Однако введение матриц специального вида значительно усложняло вычислительный алгоритм решения задачи. Большое внимание в работах [, —] уделялось задачам, представляющим собой частный случай системы (2. A(t)y'(t)+B(t)y(t) = f(t), teT=[a, р], y(a) = а (2. VteT матрицей A(t) размерности (п х п), где B(t) в общем случае имеет неполный ранг. Большая часть рассмотренных ранее методов была основана на представлении A(t) в виде невырожденных и конечномерных матриц, например, алгоритмы, описанные в [2, 3]. Однако, уравнение (2. A=0 далеко не всегда можно разложить на невырожденную и конечномерную части. Кроме того, решение вырожденной задачи может быть не единственно или не существовать для заданных начальных данных. В этой связи приобретают большое значение проблемы согласования начальных данных с правыми частями системы. Определение 2. G(yo, хо, t0) = 0 и по необходимости продифференцированным по t недифференциальным соотношениям Gv(yo, х0, to)y'o+ Ох(у0, хо, to)x'0+ G,(y0, х0, t0)= 0, то их называют согласованными ¦. Для систем (2. Определение 2. Мерой разрешенности системы (2. T матрицей A(t) служит целочисленная величина, называемая индексом. Если решение зависит от (р-1)-й производной входных данных, то р-называется индексом рассматриваемой системы ¦. Наиболее распространенными методами решения систем (2. В этом направлении существуют два основных подхода: построение правых разрешающих операторов (1IPO) и построение левых разрешающих операторов (ЯРО). Определение 2. Я=Х К|(1)с1(! У'(0+В(0у(0 = (((). При этом минимальное число г > О, при котором оператор существует, называют правым индексом нсразрешенности системы ¦. Определение 2. Ь=? ЦА(1)х'(0“В(1)х(1)] = х'(0+В(0х(0 = Ь[С(0]. При этом минимальное число / > 0, при котором оператор существует, называют левым индексом неразрешенное™ системы ¦. В [] подробно описан алгоритм построения ПРО и ЛРО. Однако такой подход требует гладкости элементов системы, что ограничивает круг исследуемых задач. Наряду с этим, метод требует вычисления коэффициентов ПРО и ЛРО, что приводит к необходимости решать линейные дифференциальные уравнения большой размерности. Необходимость построения надежных алгоритмов для интегрирования систем (2. Появившийся в последнее время подход к линейным задачам, получивший название “гарантированной точности”, позволяет по-новому взглянуть на задачи, связанные с вырождающимися системами ОДУ. В [] рассматривался частный случай системы (2. А и В = I, где I - единичная матрица. Определение 2. A ' 1 = rank А' при / = О, Л'’ = А1 ¦ . Квазиобратная матрица определяется, как единственное решение некоторой матричной системы уравнений и может быть вычислена на основе ортогонального разложения Шура. Разложение базируется на существовании нулевых собственных значений матрицы А, однако, на практике может оказаться, что у А вообще нет нулевых собственных значений, но А является плохо обусловленной. Метод основан на аналитических преобразованиях, и его численная реализация будет осложнена вычислением матриц, учитывающих структуру конкретной задачи. На практике часто встречаются системы ОДУ, вырождающиеся лишь в определенных точках. В точке х = 0 происходит вырождение уравнения до нулевого порядка, а после деления на х правая часть становится интегрируемой. Точку х = 0 в этом случае можно назвать сингулярной. Для таких уравнений и систем сначала в [], а затем в [] было установлено фундаментальное свойство вырождения, определены начальные значения, при которых задача Коши будет разрешима, неразрешима или решение вообще не будет существовать. Так как стандартные методы интегрирования уравнений (2. В [, ] рассматривались решения частного случая системы (2. Co+xf()(x, у), где С0 = const, f0(x, у) - интегрируемая вектор-функция. XckYk х ПРИ помощи метода вариации постоянных.