Моделирование методом Монте-Карло процесса разорения страховой компании

• Автор: Климин, Андрей Сергеевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 162 с. : ил

Оглавление
Введение.

Глава 1. Литературный обзор и постановка задачи.

1. Процесс риска страховой компании

2. Вероятность разорения.

3. Аппроксимации вероятности разорения

4. Процессы риска с обобщением процесса поступления премий

5. Постановка задачи.

Глава 2. Процессы риска с непостоянной скоростью поступления премий.

1. Оценка вероятности разорения страховой компании методом имитационного моделирования

2. Точность оценки вероятности разорения при моделировании

3. Модели с непостоянной скоростью поступления премий.
4. Процесс поступления премий как случайный процесс.
5. Имитационное моделирование неоднородного процесса Пуассона для описания поступления премий и выплат по искам
Глава 3. Оценка вероятности разорения реальной страховой компании.
1. Анализ процессов поступления премий и выплаты исков по реальным данным. Оценивание параметров распределения премий, исков
2. Программный комплекс для оценки вероятности разорения реальной страховой компании
3. Примеры численных расчетов.
Заключение
Библиографический список использованной литературы.
Приложения.
Приложение I. Справка об использовании результатов работы в страховой группе Аккорд.
Приложение 2. Список обозначений
Приложение 3. Оценивание параметров и генерация случайных величин для некоторых вероятностных распределений.
Приложение 4. Структура и описание таблиц базы данных.
Приложение 5. Исходные тексты программного комплекса
Введение
Актуальность


Несмотря на то, что именно в работах Ф. Лундберга [-] были поставлены задачи нахождения вероятности разорения и даны первые ее оценки, более четкие математические формулировки были даны Харальдом Крамером в работах [-], [6-7. В этих работах были введены основные понятия теории риска и описаны важные результаты теории риска, такие как неравенство Лундберга, аппроксимация Крам ера-Лундберга и др. Ниже будут введены основные обозначения и представлены основные результаты классической теории риска. Уг являются случайными и происходят в соответствии с процессом Пуассона интенсивности Л, а величина - есть количество исков па интервале времени (0Л]. N и (УІ,У2. УрУ2. У1? У2. Обозначим функцию распределения исков через Су. U(t) = u+P(t)-S(t). Пусть среднее значение величины исков , и /л < оо. Заметим, что Су (. ЧТО бу (0) = 0. В классическом процессе Крамера-Лундберга скорость поступления премий с есть величина постоянная на протяжении всего времени слежения за процессом риска. А/а, (1. А - параметр процесса Пуассона или интенсивность (число исковых случаев в единицу времени), в > 0 - так называемая «относительная надбавка на безопасность», имеющая смысл удельного дохода страховой компании, который гарантирует, что поток премий превышает усредненные выплаты по искам за единицу времени. Для страховой компании важно, чтобы величина и (? Главным образом нас будет интересовать вероятность разорения на интервале (0, ? Р[т < I | II(0) = и] (1. Ищ'ф(иЛ) — Р[т < оо | и(0) = 7/. Легко показать, что вероятность разорения есть убывающая функция от и и возрастающая от t. Обозначим времена возникновения исков через Т1? Т2,. Т0 = 0. Тп) = и + ^Х. Из теории случайного блуждания мы можем видеть, что разорение происходит в том случае, если ? Х,] < 0. Е[Хг > 0 ^ с-г — /х > 0 -о- с > А// <=> Е[иц) — и]> 0. Е{^У> = ^. Это условие называется условием чистой прибыли. Если условие чистой прибыли соблюдается, то U(Тп) стремится к бесконечности при п —> оо. U(Tn)~ un> 1} (1. Gr)du = l, (1. Выражение (1. Ьу(-к). Легко убедится, что к = 0 является решением (1. Заметим, что Ly(0) = 1, Ly(z') <0, l]yiz>> 0 и Ly( 0) = —р. В общем случае решение может быть найдено только численно. В качестве такого метода можно использовать метод Ньютона []. H(z) = 1 + (1 + 0)pz - Ly(-z), (1. В самом деле, к > 0 есть решение уравнения Н(к) = 0. Ly-z). Так как нам известно, что один корень к =0 (Я(0) = 0), то а:0 не должно быть слишком близким к нулю. Из () . Дз к 4- Здз к — <0. Один корень отбрасываем, так он является отрицательным. Ь = (я2 ~Ь2)/(а + Ь). Так, правая часть (1. Ньютона. Правая часть выражения (1. Важным результатом в теории риска является верхняя граничная оценка вероятности разорения, часто называемая неравенством Лундберга, которое формулируется следующим образом. Теорема 1. Если существует к. Доказательство. Определим фпси) как вероятность разорения до наступления п-ного иска для любых неотрицательных значений п. Докажем по методу математической индукции, что фп <го < е~ки. Ясно, что фа си) = 0 < е~ки. Предположим, что < е~*и,и > 0. Ае-Д<¦1- 0. Доказательство. Рассмотрим, что происходит в первые К единиц времени. В случае возникновения искового случая, разорения не происходит, если величина страховой выплаты меньше чем и ск. Так как процесс Пуассона имеет стационарные и независимые приращения, то и (? Юу <х) + о(к). Выражение (1. При h —> 0 получаем (1. Сделав замену феи> = 1 — феи) получим аналог выражения (1. Си) = Хр — X? Gy ex))dx + j феи — ? GYex))dx . Пример 1. Рассмотрим случай, когда иски имеют показательное распределение Exp{? GY сх) — 1 - е~&9, Тогда выражение (1. Хфеи) — Xc~? J Ф {у) ? Дифференцируя (1.