Методы дискретных граничных уравнений для решения задач расчета сооружений

• Автор: Кайтуков, Таймураз Батразович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 143 с. : ил

СОДЕРЖАНИЕ

Глава 1. Обзор численных методов решения краевых задач расчета

конструкций.

1.1. Разностные методы.

1.2. Метод конечных элементов

1.3. Метод граничных интегральных уравнений

1.4. Метод дискретных граничных уравнений

1.5. Численное решение.

1.6. Локальные решения и дискретные фундаментальные функции

1.7. Выводы и результаты по первой главе.

Глава 2. Постановка и дискретизация краевых задач

2.1. Основные понятия, используемые в формулировках краевых задач. .
2.1.1. Характеристическая функция области .
2.1.2. Аппроксимация функций и области.
2.1.3. Определение фундаментатьного решения
2.1.4. Традиционная и операторная постановки граничных уравнений. Основные соотношения для оператора краевой задачи.
2.2. Классификация и основные постановки краевых задач.
2.2.1. Постановка краевой задачи для уравнения Пуассона
2.2.2. Постановка задачи теории упругости
2.3. Дискретизация краевых задач методом конечных разностей
2.3.1. Задача об изгибе балки
2.3.2. Уравнение Пуассона
2.3.3. Бигармоническое уравнение.
2.3.4. Задача теории упругости.
2.4. Выводы и результаты по второй главе.
Глава 3. Построение фундаментального решения для дискретных
задач.
3.1. Фундаментальное решение для дискретного уравнения
второго порядка.
3.2. Фундаментальное решение для задачи об изгибе балки
3.2.1. Построение дискретного аналога
3.2.2. Построение дискретного фундаментального решения
для балки.
3.2.3. Аналитическое фундаментальное решение.
3.3. Построение фундаментального решения с помощью вспомогательных краевых задач
3.3.1. Фундаментальное решение для уравнения Пуассона
3.3.2. Фундаментальное решение для разностного бигармонического оператора.
3.3.3. Фундаментальное решение для разностного оператора
задачи теории упругости.
3.4. Вычисление дискретной фундаментальной функции С Л. Соболева
для оператора Лапласа.
3.4.1. Построение фундаментальной функции на сетке
по С.Л. Соболеву
3.4.2. Построение фундаментальной функции на стандартной сеточной области
3.5. Выводы и результаты по третьей главе
Глава 4. Метод дискретных граничных уравнений и его применение
при решении трехмерных задач теории упругости.
4.1. Основные операторные соотношения при прямом и непрямом подходах.
4.2. Явный вид граничного оператора
4.3. Прямая формулировка дискретных граничных уравнений
4.4. Непрямая формулировка дискретных граничных уравнений
4.5. Стыковка конструкций.
4.6. Пример расчета.
4.7. Выводы и результаты по четвертой главе.
Глава 5. Дискретноаналитический подход к расчету конструкций
метод прямых для ВРМ.
5.1. Решение задачи для уравнения Пуассона для полосы.
5.1.1. Постановка краевой задачи.
5.1.2. Построение вариационноразностного аналога
5.1.3. Дискретноаналитическое решение.
5.1.4. Аналитическое решение.
5.2. Решение задачи теории упругости
5.2.1. Аналитическая формулировка
5.2.2. Построение дискретного оператора вариационноразностным методом
5.2.3. Примеры расчета
5.3. Выводы и результаты по пятой главе
Заключение. Основные результаты и выводы
Литература


Мартина, Л. Толпа []. Большой вклад в совершенствование метода внесли как советские ученые: Л. А. Розин [], А. П. Филин [], В. А. Постнов [], A. Н.Н Шапошников [], так и зарубежные ученые: О. Зенкевич [], К. Васидзу [], Г. Стренг и Дж. Фикс [], К. Бате и Е. Вилсон [3], Ф. Сьярле [] и др. Вначале используемый как инженерный метод, метод конечных элементов постепенно превращается в средство для численного решения задач теплопередачи, гидродинамики и др. Ограничивающей стороной метода конечных элементов, вследствие его приближенности, является сложность решения в неограниченных областях, еще один недостаток - резкое возрастание вычислительных затрат при увеличении алгебраической размерности системы разрешающих уравнений при ее решении методом Гаусса. Метод граничных интегральных уравнений. В настоящее время для решения задач различного уровня сложности часто применяется метод граничных интегральных уравнений. Метод базируется на использовании фундаментальной функции и функции Грина на расширенной области, включающей и область, занимаемую конструкцией. Другой возможный путь получения граничных интегральных уравнений заключается в применении формулы Сомильяны в сочетании с формулами Грина на неофаниченной области. Удобство метода состоит в том, что в качестве неизвестных в интегральные уравнения входят функции только на границе области, в то время как при дифференциальной краевой задаче требуется нахождение функций во всей области. Основным отличием метода граничных интегральных уравнений от метода конечных элементов при аппроксимации является способ дискретизации, в случае интефальных уравнений она осуществляется не внутри области, а на фанице. Метод обладает большей точностью по сравнению с другими численными методами за счет того, что решение задачи зависит только от значений напряжений и перемещений на фанице, точно удовлетворяя уравнениям внутри области. Размерность задач здесь ниже на единицу, получаемая разрешающая система относительно граничных точек хорошо обусловлена, однако матрица коэффициентов при неизвестных, как правило, полностью заполнена и несимметрична. Применение метода также усложняется наличием интефалов от сингулярных функций. Различают две группы граничных интегральных уравнений: прямая и непрямая формулировки. При прямой формулировке интегральные уравнения на границе непосредственно связывают механические величины - усилия и смещения. В случае непрямой формулировки в роли неизвестных выступают функции, называемые плотностями потенциалов, под которыми понимают фиктивные нагрузки или скачки (разрывы) смещений на границе. В задачах о трещинах эти скачки перемещений перестают быть фиктивными, а приобретают смысл фактических взаимных смещений берегов трещин. Теоретическим обоснованием и практическим применением метода граничных интегральных уравнений занимались: С. Н.И. Мусхелишвили [], [], В. Д. Купрадзе [], В. З. Партой и П. И. Перлин [], А. Г. Угодчиков и Н. М. Хуторянский [], Ф. Риццо [], Т. Крузо [], К. Бреббия, Ж. Таллес и Л. Вроубел [7] и др. Значительную роль в становлении данного метода сыграло и использование обобщенных решений. Здесь необходимо привести работы А. И. Цейтлина [] и Л. Г. Петросяна []. Свойства 5-функции и ее производных использованы в понятии я-кратного слоя, трактующего переход от уравнений, действующих на области занимаемой конструкцией, к уравнениям на границе. В методе компенсирующих нагрузок (вариант непрямого метода), разработанном Б. Г. Кореневым [], задача формулировалась на расширенной области с приложением дополнительной фиктивной нагрузки, обеспечивающей выполнение граничных условий. Метод получил развитие в работах О. В. Лужина [], Э. С. Венцеля [] и др. Существенным недостатком метода граничных интегральных уравнений является его опора на существование простого аналитического выражения фундаментального решения системы дифференциальных уравнений. Вследствие этого, он менее эффективен для расчета конструкций с переменными свойствами материала, непрерывно зависящими от координат.