Асимптотическая Паде интерполяция решений краевых и вариационных задач с параметром

• Автор: Комарова, Екатерина Владимировна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 113 с. : ил

Оглавление
Введение

1 Асимптотическая Паде интерполяция АПИ для

начальных и краевых задач с параметром

1.1 Построение асимптотики решения начальной задачи с

параметром 0,1

1.2 Построение асимптотики решения начальной задачи с

параметром 1, 2 и 2, оо

1.3 Построение сглаживающего многочлена для Паде

конструкции
1.4 Построение Паде аппроксимации для задач, содержащих контрастные структуры типа ступеньки.
1.5 Численные расчеты.
2 Применение Асимптотической Паде интерполяции
для построениия параметрического синтеза в задачах
оптимального управления с параметром
2.1 Вспомогательные асимптотические разложения
2.2 Построение параметрического синтеза управления
2.3 Численные расчеты.
2.4 Свойства линейно квадратичной задачи оптимального
управления с большим коэффициентом усиления.
2.5 Использование АПИ для построения эффективною начального приближения в пакетах прикладных программ
по оптимальному управлению
Заключение
Литература


A. Гончара ([1], [3|, [], []) и др Многие удивительные свойства таких рациональных приближений связаны с тем фактом, что эти дроби, где в числителе и знаменателе присутствуют многочлены, уже не многочлены, а функции аналогичные бесконечным рядам, следовательно их возможности по аппроксимации становятся шире. Это различие особенно проявляется для Паде-аппроксимаций небольшого порядка, когда практически при той же информации о коэффициентах может принципиально измениться качество приближения по сравнению с чисто полиномиальными приближениями. Разработка интерполяционных методов решения краевых, начальных задач и задач оптимального управления с параметром, используя асимптотические разложения при различных значениях параметра и Паде - аппроксимации. В первой главе аппроксимация Наде используется в качестве своеобразного "моста” между асимптотическими разложениями не только при ? Примеры показывают, что построение Паде-аппроксимации позволяет существенно расширить "области действия" асимптотик в окрестностях малых, средних и больших положительных значений параметра ? Паде - конструкции могут служить своеобразными операторами над асимптотиками, расширяющими зону их действия. Е II,у е /? О, Т. Пусть 2 = (ху'). В главе рассматривается построение приближения к г(Ь, е) -поверхностям решения начальных и краевых задач с параметром, который входит множителем при производной (при малых положительных значениях параметра такие задачи называются сингулярно возмущенными вследствие возможности появления зон быстрою изменения решения или больших градиентов). Эти приближения строятся с помощью некоторой сплайн конструкции. В качестве элементов сплайна используются Паде-аппроксимации, построенные на асимптотических приближениях к решению в окрестности некоторых точек интервала изменения параметра. Предлагаемые способы построения приближений к поверхности решения - двухпараметрической функции по Ь и е - есть аналог некоторой интерполяционной процедуры. Известно, что точность интерполяционной процедуры повышается при использовании свойств функции в точках-узлах интерполяции. Следовательно, интерполяционная процедура и а основе асимптотических приближений может быть более эффективной в сравнении с интерполяцией на основе полиномов Лагранжа, т. Начальный элемент сплайна - есть Паде-апнроксимация при 0 < ? Присутствие здесь таких слагаемых объясняется сингулярностью задачи (1),(2) при малых е и наличием больших скоростей изменения точного решения по времени вблизи границы изменения параметра. Такая модификация Паде-аппроксимаций была впервые предложена Дмитриевым М. Г. и развита Беляевой Ы. П.([5],[7|). В этой главе, с одной стороны, развивается эта идея до процесса построения асимптотических Паде-интерполяций, а с другой, рассматриваются новые классы задач, где возможно использование таких аппроксимаций. Построение приближения проводится с помощью разбиения области изменения параметра е на основе сетки Д = {? Далее, на. Д* € строится Паде - аппроксимация, которая в окрестностях этих узлов асимптотически приравнивается к имеющимся асимптотическим приближениям решения, и эти конструкции 'сшиваются” во внутренних узлах. Введем определения. Определение 1. Асимптотической Паде интерполяцией (АПИ) решения задачи назовем приближение к поверхности решения г(? Определение 2. Асимптотическая Паде интерполяция (АПИ) порядка [п/л] - это непрерывная конструкция, составленная из Паде -аппроксимаций порядка [п/п] между узлами интерполяции. Где каждая Паде - аппроксимация построена на основе асимптотических разложений в окрестности узлов. Итак, внешне АПИ близка к сплайн - интерполяции. Однако, между ними есть принципиальное различие. При построении сплайнов требуется информация о значениях функции в узлах и ее производных в некоторых узлах. Здесь же мы располагаем асимптотическими приближениями функции н окрестности узлов и эти приближения содержат, с одной стороны, информацию не только в узлах, айв малой окрестности узлов, а с другой стороны, эта информация лишь приближенная. В параграфе 1. Причем особенность такой задачи заключается в сингулярности исходного уравнения и, как следствие, наличие пограничных слагаемых в асимптотике сингулярно возмущенной задачи. F(a;, у, ?