Сглаживающие изогеометрические и робастные сплайны: методы и алгоритмы

• Автор: Березовский, Михаил Витальевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 167 с. : ил.

Оглавление
Введение.

Глава 1. Кубические сплайны. Основные методы и алгоритмы

Интерполяционный кубический сплайн

1.1.1. Определение интерполяционного кубического сплайна

1.1.2. Методы вычисления интерполяционного сплайна

1.2. Сглаживающий кубический сплайн

1.2.1. Определение сглаживающего кубического сплайна

1.2.2. Методы вычисления сглаживающего сплайна

1.3. Определение среднеквадратичного приближения.

1.3.1. Проблемы выбора параметра сглаживания

1.3.2. Выбор размерности пространства Всплайнов
1.4. Частотная модель сглаживающего сплайна
1.5. Выводы
Глава 2. Выбор параметра сглаживания
2.1. Алгоритмы оценивания оптимального параметра сглаживания
2.1.1. Алгоритм выбора параметра сглаживания на основе критерия оптимальности.
2.1.2. Выбор параметра сглаживания на основе критерия перекрестной значимости vii
2.1.3. Выбор параметра сглаживания на основе метода кривой
2.2. Выбор параметра сглаживании по заданным точностным характеристикам
2.3. Сравнение методов выбора параметра сглаживания различными алгоршпмами
2.3.1. Исследование качества оценки параметра сглаживания при некоррелированном шуме
2.3.2. Исследование влияния коррелированности шума па качество
построения параметра сглаживания.
2.4. Выводы.
Глава 3. Изогеометрические сглаживающие сплайны
3.1. Задача построения изогеометрических сплайнов.
3.1.1. Классификация априорной информации
3.1.2. Подходы к решению.
3.2. Построение изогеометрического сглаживающего сплайна первый метод
3.2.1. Восстановление геометрии исходных данных
3.2.2. Построение изогеометрического сплайна.
3.3. Построение изогеометрического сглаживающего сплайна второй метод
3.3.1. Построение системы ограничений
3.3.2. Согласованность системы ограничений.
3.3.3. Алгоритм построения изогеометрического сглаживающего сплайна
3.4. Вычислительный эксперимент.
3.4.1. Описание вычислительного эксперимента.
3.4.2. Результаты вычислительного эксперимента.
3.5. Выводы.
Глава 4. Робастные сплайны и алгоритмы их построения.
4.1. Робастный сглаживающий сплайн
4.1.1. Устойчивые плотности распределения шумов
4.1.2. Сглаживающие сплайны, робастные на классах распределений шумов измерений.
4.2. Алгоритмы построения робастных сплайнов.
4.2.1. Существование и единственность робастного сплайна
4.2.2. Алгоритм 1 решения вариационной задачи
4.2.3. Алгоритм 2 решения вариационной задачи.
4.2.4. Алгоритм 3 решения вариационной задачи
4.3. Выбор параметра сглаживания в робастных сплайнах
4.4. Вычислительный эксперимент
4.4.1. Эксперимент 1. Восстановление данных, искаженных смешанным шумом.
4.4.2. Эксперимент 2. Восстановление данных, искаженных экспоненциальным шумом
4.4.3. Эксперимент 3. Восстановление данных, искаженных нормальным шумом.
4.5. Выводы
Глава 5. Комплекс программ i
5.1. Характеристика программного комплекса.
5.2. Требования к программному и аппаратному обеспечению
5.3. Описание интерфейса программного комплекса i
5.4. Подготовка информации для работы комплекса
5.4.1. Формат файла данных
5.4.2. Формат файла априорных ограничений.
5.5. Подсистема ввода и отображения числовых данных
5.6. Подсистема вычисления сплайнов
5.6.1. Компонента работы с матрицами
5.6.2. Компонента вычисления параметра сглаживания
5.6.3. Компонента вычисления кубического сплайна
5.7. Выводы.
Глава 6. Обработка данных реальных экспериментов
6.1. Обработка экспериментальных данных изогеометр ическими сглаживающими сплайнами
6.1.1. Обработка данных аэродинамического эксперимента
6.1.2. Обработка данных системы слежения за спутниками с использованием изогеометрических сглаживающих сплайнов
6.2. Обработка данных системы слежения за спутниками с использованием робастных сплайнов
6.3. Выводы
Заключение
Список литературы


На основе этих теорем предложены несколько алгоритмов решения этой задачи, наиболее детально рассмотрен алгоритм, использующий методы оптимизации первого порядка. Пятая глава описывает программный комплекс, реализующий методы, описанные в главах 2, 3 и 4. Чтобы проверить предложенные алгоритмы и предоставить этот инструментарий исследователям, был разработан комплекс программ i . В шестой главе описаны эксперименты, проведенные с использованием комплекса программ i . Интерфейс с пользователем, описание библиотек, особенности реализации комплекса и необходимая для его использования документация подробно приведены в этой главе. В конце диссертации сделаны выводы по проделанной работе. Научная новизна исследований заключается в следующем. Введен новый класс сглаживающих сплайнов изогеометрический сглаживающий сплайн, позволяющий учесть априорную информацию о значениях приближаемой функции и ее производных не только в узлах сетки, но и на интервалах. На основе этой информации производится коррекция плохой геометрии исходных данных. Доказан ряд теорем о существовании и единственности изогеометрического сглаживающего сплайна, а также теорем об избыточности и непротиворечивости ограничений, накладываемых на сплайны. Предложен алгоритм построения изогеометрического сглаживающего сплайна, состоящий из двух этапов первый этап корректировка плохой геометрии исходных данных на основе имеющейся априорной информации второй этап построение сплайна, сохраняющего полученную на первом этапе геометрию. Введен новый класс сплайнов сглаживающие сплайны, робастные на классах распределений шумов. Сформулирован вариационный подход к построению робастных сплайнов. Доказана теорема о существовании и единственности робастных сплайнов. Предложены вычислительные схемы построения робастных сплайнов. Практическая значимость работы заключается в следующем. Методы и алгоритмы, разработанные в диссертационной работе, дают возможность эффективно использовать изогеометрические и робастные сплайны при обработке различных экспериментальных данных. Разработан пакет прикладных программ i , реализующий построение интерполяционных и сглаживающих сплайнов в том числе изогеометрических и робастных. Он имеет удобный и понятный интерфейс и реализован для наиболее массовых и производительных операционных систем. Пакет может обрабатывать данные, которые представлены в различном виде вводятся с клавиатуры, загружаются из файла или запрашиваются из базы данных. Сформулированные в работе результаты позволяют сделать вывод об избыточности или противоречивости задаваемой априорной информации. Пакет прикладных программ i использовался при обработке данных летного эксперимента в институте теоретической и прикладной механики и это позволило получить из эксперимента более достоверную информацию об исследуемых аэродинамических процессах. Пакет программ i передан в эксплуатацию в ФГУП СНИИМ для использования при обработке данных аппаратуры слежения за спутниками. На защиту выносятся следующие положения. Оценка параметра сглаживания методом кривой. Вариационный подход к построению изогеометрического сглаживающего сплайна. Теорема о существовании и единственности решения сформулированной вариационной задачи. Условия непротиворечивости априорных ограничений. Вариационный поход к построению сглаживающего сплайна, робастного на классах распределений шумов измерений и алгоритмы его построения. Теорема существования и единственности такого сплайна. Пакет прикладных программ i , реализующий построение интерполяционного, сглаживающего, изогеомегрического сглаживающего, робастного сглаживающего сплайнов. Результаты одной из случаев применения изогеометрического сглаживающего сплайна для обработки данных аэродинамического эксперимента. Результаты применения изогеометрических сплайнов для обработки данных системы слежения за спутниками. При нумерации разделов, формул и рисунков первая цифра указывает номер главы, вторая их порядковый номер. Основные результаты, полученные в диссертации, опубликованы в 8 работах 4,.