Численное дифференцирование временных рядов с использованием фильтра Калмана-Бьюси

• Автор: Гончарова, Елена Николаевна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Ставрополь
• Количество страниц: 124 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение.

Глава I. Методы численного дифференцирования функций дискретного

1.1. Численное дифференцирование временных рядов.

1.2. Анализ методов численного дифференцирования.

1.3. Некорректность задачи численного дифференцирования

1.4. Выводы

Глава II. Алгоритмы численного дифференцирования

детерминированных временных рядов в

2.1. Представление полиномиальных функций уравнениями в пространстве состояний

2.1.1. Представление полиномиальных функций в виде решения системы 4 л инейных дифференциальных уравнений.
2.1.2. Преобразование системы линейных дифференциальных уравнений к уравнениям в пространстве состояний.
2.1.3. Условия дифференцируемости полиномиальных функций и наблюдаемость уравнений состояний.
2.2. Оценка производных детерминированных временных рядов
Ф по результатам наблюдений.
2.3. Численное дифференцирование дискретных функций, аппроксимированных ортогональными полиномами
2.4. Выводы.
Глава III. Численное дифференцирование временных рядов при случайных ошибках измерений .
3.1. Фильтрация случайных помех по методу Калмана Бьюси.
3.2. Фильтр Калмана Бьюси с фиксированным запаздыванием.
3.3. Точность решения задачи численного дифференцирования.
3.4. Выводы.
Глава IV. Некоторые приложения методов численного дифференцирования временных рядов со случайными ошибками
4.1. Решение обратной задачи для источника примеси методами оптимальной фильтрации
4.2. Оценка скорости и ускорения движения снаряда по результатам наблюдений
4.3. Численное решение уравнений модифицированным методом Ньютона.
4.3. Численное решение уравнений модифицированным методом
Ньютона.
Выводы.
Заключение
Список использованных источников


Предложенные методы использованы для решения обратной задачи об источнике примеси в турбулентной атмосфере и решения алгебраических уравнений методом Ньютона. ЭВМ. Практическая значимость полученных результатов. Разработанный на базе полученных результатов комплекс программ позволяет решать задачи численного дифференцирования, как детерминированных временных рядов, так и временных рядов, содержащих ошибки измерения. Результаты работы внедрены в учебный процесс в СГУ. Основные положения диссертации, выносимые на защиту. Метод численного дифференцирования детерминированных временных рядов в узловых точках с использованием наблюдателя Льюинбергера. Метод наилучшего (в среднеквадратическом смысле) приближения функции, заданной таблично и ее производных в узловых точках, основанный на использовании оптимального линейного фильтра Калмана -Бьюси. Методика решения обратной задачи об источнике примеси в турбулентной атмосфере, основанная на численном дифференцировании временных рядов с помощью фильтра Калмана - Бьюси. Методика применения разработанных методов к численному решению алгебраических уравнений модифицированным методом Ньютона. Апробация результатов диссертации. Результаты работы докладывались на Международных школах-семинарах по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, МГУ, РГУ, и гг. Сочи, г. Университетская наука - региону» (Ставрополь, , гг. Опубликованность результатов. Материалы диссертации опубликованы в научных работах. Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, списка использованных источников и приложений. Работа изложена на 7 страницах, содержит рисунков и 6 таблиц. В первой главе проведен обзор методов численного дифференцирования функций, заданных таблично. Отмечена некорректность задачи численного дифференцирования. Численное дифференцирование функций, осуществляющееся классическими методами, является неустойчивым к ошибкам входных данных, что подтверждается результатами численных экспериментов. Во второй главе рассмотрена возможность аппроксимации полиномиальных функций решением системы линейных дифференциальных уравнений, как основа для разработки метода решения задачи численного дифференцирования, показано представление полиномиальных функций уравнениями в пространстве состояний. Построен алгоритм численного дифференцирования детерминированных временных рядов с точно заданными начальными условиями. Построен алгоритм численного дифференцирования детерминированных временных рядов с неизвестными начальными условиями с использованием фильтра Льюинбергера. Приведены примеры использования программ, реализующих описанные алгоритмы. Построен фильтр Калмана - Бьюси, позволяющий оценить помимо собственно значений функции, ее производные заданных порядков, в предположении, что временной интервал между соседними наблюдаемыми значениями постоянный. Разработан алгоритм и соответствующая программа для решения задачи численного дифференцирования с использованием фильтра Калмана - Бьюси. В четвертой главе рассмотрены практические задачи, в которых могут быть использованы разработанные методы, например, обратная задача для определения мощности источника примеси. В качестве исследуемой функции здесь рассматривается поле концентрации примесей в уравнении переноса, а также поля исходных данных, такие как, скорость потока, турбулентная диффузия, заданные результатами наблюдений - данными, полученными в дискретные моменты времени. Рассмотрена задача об оценке параметров движущегося объекта. Ньютона, содержащего функцию, сложную для аналитического дифференцирования. В заключении обобщены итоги и результаты проведенных исследований. Приложение содержит листинг комплекса программ, реализующих как классические алгоритмы численного дифференцирования, так и разработанные в данном исследовании. Комплекс программ разработан в среде программирования Эе1рЫ 6. Приведены примеры реализации методов, результаты сравнения программной реализации разработанных методов с коммерческими программами, а также с результатами, полученными в результате расчетов по методам, которые считаются классическими.