Численный анализ моделей аномальной кинетики методом Монте-Карло

• Автор: Саенко, Вячеслав Владимирович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Ульяновск
• Количество страниц: 187 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Моделирование траектории частицы и оценка плотности распределения

1.1. Модель аномальной диффузии

1.2. Алгоритмы моделирования траектории частицы

1.3. Гиетограммиая оценка плотности распределении

1.4. Локальная оценка плотности распределения

1.5. Сопоставление алгоритмов шстограммноП и локально оценок плотности распределения.
1.6. Выводы

2 Асимптотический анализ нолуаиалитическим методом МонтеКарло

2.1. Представление скачкообразного случайного процесса в виде случайной суммы.

2.2. Уравнение для плотности распределения.
2.3. Оценка плотности дробноустойчивых распределении .
2.3.1. Вычисление устойчивых плотностей методом МонтеКарло
2.3.2. Вычисление ДУ плотностей методом МонтеКарло .
2.4. Вычисление квантилей ДУ распределений
2.5. Оценка параметров ДУ распределений .
2.5.1. Случай известного параметра масштаба.
огчлплгпт
2.5.2. Случай неизвестного параметра масштаба.
2.6. ДУ распределения в физике плазмы
2.7. Выводы
3 Нормальная кинетика. Мезодиффузия
3.1. Кинетическое уравнение
3.2. Телеграфное уравнение.
3.3. Трехмерное блуждание частицы в среде с плоской
симметрией
3.4. Анизотропное блуждание
3.5. Фронтовой всплеск.
3.6. Выводы
4 Аномальная кинетика
4.1. Полеты Леви и пыль Леви
4.2. Интегральное уравнение процесса блуждания е. конечной скоростью п ловушками
4.3. Ширина диффузионного пакета и е оценка методом МонтеКарло 9Б
4.4. Супердиффузин
4.4.1. Уравнение супердиффузин
4.4.2. Вычисление моментов расп ре деления методом МонтеКарло
4.4.3. Аномальная кинетика с ловушками показательного тина а 1.
4.4.4. Аномальная кинетика с ловушками показательного типа а 1.
4.5. Субднффузпя.
4.5.1. Уравнение субдифуиш.
4.5.2. Учет влияния конечной скорости.
ОГЛАВЛЕНИЕ
4.. Аномальная кинетика с ловушками п пробегами
степенного тина
4.7. Выводы.
5 Диффузия на фракталах
5.1. Диффузия на фракталах
5.2. Алгоритм моделирования.
5.3. Статистическая оценка плотности
5.4. Выводы.
Заключение
Приложения
Л Моделирование случайных величии
Л.1. Датчик псевдослучайных чисел.
А.2. Моделирование изотропного вектора
А.З. Метод обратной функции.
А.4. Различные формы характеристической функции.
.5. Формулы перехода для случайных величии.
В Производные дробного порядка
.1. Дробная производная РимаиаЛиувилля .
.2. Дробная производная Рнсса1
С Плотности распределений
.1. Дробноустойчивые распределения
С.2. Плотность распределения при диффузии на фракталах . .
Литература


Приведу несколько примеров, в которых появляются устойчивые распределения. Пример 1. Имеется плоская фольга, расположенная параллельно экрану, и отстоящая от него на расстоянии I. На этой фольге нмсчггся точечный пзот|юпиый источник радиации. Радиоактивное излучение вызывает па экране вспышки. Требуется определить распределение этих вспышек. О.г совпадает с перпендикуляром, опущенным из источника на экран, а плоскость Оху совпадает с плоскостью экрана. В следствии того, что источник пзот|юпный, необходимо получит распределение только одной координаті»! Рис. Этот угол ивлжпси случайной величиной, равномерно распределенной в интервале [—~/2. С учетом этого, в предположении, что траектория частицы представляет собой прямую линию, случаііиаи координата частицы А” будет определиться соотношением А' = /(апФ. Это распределение называется распределением Коши. Р {А” < д*} = Р {Ф < д(:г)} . Р {Ф < ф{х)} = (*(*)) = 1/2 4- ф(х)/7г. Пример 2. Рассмотрим газ, состоящий из атомов или молекул, дли которых возможен излунательный переход между двумя состояниями с разностью энергий /зд. Введем функцию распределении а(и>) для испускаемых фотонов но частотам, так что а(и>)(1и> представляет собой вероятность того, что в процессе изучения испускается фотон с частотой, находящейся в интервале ог и до и 4- (1л. В результате различных процессов, протекающих в газе, излучение п поглощение за счет рассматриваемого перехода сосредоточено в некоторой области часі о г вблизи и,}. Распределение испускаемых и поглощаемых фонтов по частотам, описываемое функцией л(о;). Существует два механизма уишрения спектральной линии |]. Одни связан с движением атомов, и приводит к донлеровокому уншреппю спектральной линии. Другой механизм связан с взаимодействием излучаемой пли поглощающей атомной частицы с окружающими ее частицами газа. Легко видеть, что это не что иное как распределение Коши. Для применения этого уишрения необходимо, что бы время прохождения частицей размера п, где происходит рассеяние, было много меньше времени меж;|у соседними соударениями, т. Рассчитаем теперь для лорснцовской линии вероятность Р {? Подставляя сюда (-1). Л*() - коэффициент поглощения В центре ЛИНИИ, /о - функция Бесселя. Таким образом, при выполнении условия (5), пробел* фотона имеет степенное распределение. Как я уже не раз отмечал, распределение Коши одно из немногих устойчивых распределений, имеющих выражение через элементарные функции. N0)п <к 1. Р {г} = (тгА’ог) 1/2, к{)г » 1. ДУ распределений для произвольных значений параметров. К сожалению, на дапныП момент, таких методов не существует. Стохастический подход к скачкообразному случайному процессу приводит и к очевидному мегоду исследованию - мето,ту Монте-Карло. Не смотря на столь очевидный вывод до сих пор, по крайней мере, во всех приведенных выше работах, за исключением работы |), метод Монте-Карло не применялся для анализа аномальной диффузии. Достоинство метода Монте-Карло заключается в том, что он позволяет получать распределения частиц для любых значений показателей а и 0, а так же позволяет учесть конечную скорости движения частицы, и проанализировать ее влияние па распределение плотности вероятности. Таким образом, разработка алгоритма метода Монте-Карло дли решения задач аномальной киношки, а так же анализ получаемых распределений представляет интерес как в теоретическом, так и в практическом отношении. Обзор диссертации по главам. В первой глав»1 описываются модели блужданий в одномерном и ростра нотве для случая блуждания частицы в среде без ловушек п с ловушками. Рассматривается вопрос о том как изменятся эти модели если частица будет двигаться с конечной скоростью. Рассматривается модель скачкообразного случайного процесса как частный случай модели блуждания частицы в среде с ловушками в которой частица мгновенно перемещается из одной точки пространства в другую. На основе описанных моделей в параграфе 1. Монте-Карло для случаев одномерного блуждания как с. Далее в параграфах 1. Ы. описываются алгоритмы гнетограммной оценки н локальной оценки плотности распределения частиц.