Математическое моделирование взаимодействия трех световых волн на основе системы комбинированных нелинейных уравнений Шредингера

• Автор: Борханифар Абдолла
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 115 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение.
Глава 1. Постановка задачи взаимодействия трех фемтосекундных импульсов, распространяющихся в оптическом волокне с учетом дисперсии нелинейного отклика.
1.1. Постановка задачи взаимодействия трех фемтосекундных импульсов в первом приближении теории дисперсии.
1.2. Постановка задачи взаимодействия трех фемтосекундных импульсов во втором приближении теории дисперсии.
1.3. Инварианты распространения трех фемтосекундных импульсов в оптическом волокне с учетом дисперсии нелинейного отклика.

1.4. Краткие выводы.

Глава 2. Консервативные разностные схемы для системы трех комбинированных уравнений Шредингера.
2.1. Разностные схемы для задачи взаимодействия трех фемтосекундных импульсов в первом приближении теории дисперсии.
2.2. Разностные схемы для задачи взаимодействия трех фемтосекундных импульсов во втором приближении теории дисперсии.

2.3. Исследование консервативности построенных схем.

2.4. Краткие выводы.
Глава 3. Компьютерное моделирование распространения трех фемтосекундных импульсов на основе системы комбинированных уравнений Шредингера.
3.1. Компьютерное моделирование взаимодействия трех фемтосекундных импульсов в первом приближении теории дисперсии.
3.2. Компьютерное моделирование взаимодействия трех фемтосекундных импульсов на основе системы трех комбинированных уравнений Шредингера.
3.3. Краткие выводы.
Основные результаты.
Список литературы


Во введении приведен краткий обзор литературы по теме диссертации, характеризующий состояние проблемы и излагается краткое содержание работы. Первая глава диссертации, состоящая из трех параграфов, посвящена постановкам задачи взаимодействия трех фемтосекундных импульсов, распространяющихся в оптическом волокне с учетом дисперсии нелинейного отклика. Такая задача, как известно, в общем случае описывается системой уравнений Максвелла совместно с нелинейным уравнением относительно поляризации среды. При этом распространение фемтосекундного импульса в оптическом волокне во втором приближении теории дисперсии описывается системой безразмерных комбинированных нелинейных уравнений Шредингера, характерной особенностью которых является наличие производной по времени от нелинейного отклика среды. С целыо устранения в исходных уравнениях производной по времени от нелинейного слагаемого вводятся новые функции по определенному правилу, позволяющие выделить линейный дифференциальный оператор. Заметим, что в первом приближении теории дисперсии распространение фемтосекундных импульсов описывается системой уравнений переноса с нелинейной зависимостью скорости их распространения от интенсивности световой волны, что приводит к формированию оптических ударных волн. В третьем параграфе первой главы рассматриваются инварианты распространения трех фемтосекундных импульсов в оптическом волокне с учетом дисперсии нелинейного отклика. В этом параграфе доказано существование 6 известных в литературе инвариантов. Они необходимы для контроля результатов компьютерного моделирования, так как позволяют построить консервативные разностные схемы. Вторая глава посвящена построению консервативных разностных схем для системы трех комбинированных уравнений Шредингера, описывающих распространение фемтосекундных импульсов в оптическом волокне. В первом параграфе этой главы построены разностные схемы для задачи взаимодействия трех фемтосекундных импульсов в первом приближении теории дисперсии. С целыо построения эффективного численного метода для рассматриваемых задач предложены три разностные схемы, которые обладают свойством консервативности и вторым порядком аппроксимации по времени и пространственной координате относительно заданной точки на достаточно гладком решении исходной дифференциальной задачи. Эти схемы построены для трех различных систем дифференциальных уравнений, описывающих рассматриваемый процесс. Две из них известны в литературы, а третья модель предложена в наших работах. Второй параграф второй главы посвящен построению разностных схем для задачи взаимодействия трех фемтосекундных импульсов во втором приближении теории дисперсии с учетом производной по времени от нелинейного отклика среды. Здесь записана консервативная разностная схема для уравнений, записанных на основе приведенного преобразования исходных комплексных амплитуд к новым функциям. Так как схема нелинейная, то используется итерационный процесс. Итерационный процесс прекращается, если выполнены некоторые условия. Записанная схема обладает вторым порядком аппроксимации по времени и пространственной координате относительно выбранной внутренней точки. Однако, правое краевое условие дня введенных функции аппроксимируется с первым порядком по времени. Тем не менее, именно эта аппроксимация позволяет реализовать консервативность схемы. Заметим, что в этом же параграфе приводится консервативная разностная схема для исходной системы уравнений относительно комплексной амплитуды. В последнем параграфе этой главы доказана консервативность построенных разностных схем. Показано, что они сохраняют приведенные в главе 1 инварианты. Третья глава содержит результаты компьютерного моделирования распространения трех фемтосекундных импульсов на основе системы комбинированных уравнений Шредингера. Цель компьютерного моделирования заключается в сравнении эффективности изложенных выше подходов математического моделирования для рассматриваемого класса задач. Расчеты проводятся для гауссовых начальных распределений комплексных амплитуд на входе в нелинейную среду для первой и второй волн и нулевого значения волны на суммарной частоте.