Взаимный мультифрактальный анализ. Приложение к параметризации минеральных структур

• Автор: Светова, Нина Юрьевна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Петрозаводск
• Количество страниц: 156 с. : ил.

Оглавление
Введение

1. Основы мультифрактального анализа О

1.1. История развития мультифрактального анализа

1.2. Строгий мультифрактальный формализм

1.2.1. Хаусдорфова, упаковочная меры и размерности

1.2.2. Мультифрактальный формализм

1.2.3. Теоремы о покрытиях.

2. Взаимный мультифрактальный анализ

2.1. Взаимные хаусдорфова упаковочная мультифрактальные меры и размерности

2.2. Взаимные точные мультифрактальные спектры.

2.3. Емкостные взаимные спектры
2.4. Взаимные спектры Лежандра и взаимные спектры Хентшель Прокачиа
2.5. Взаимные емкостные размерности, определенные для разбиений
2.6. Оценка точных взаимных мультифрактальиых спектров.
2.7. Частные случаи взаимного мультифрактального анализа.
3. Численные алгоритмы и реализация алгоритмов взаимного мультифрактального анализа
3.1. Численные алгоритмы осуществления взаимного мультифрактального анализа
3.2. Свойства взаимных мультифрактальиых характеристик
3.3. Методика проведения взаимного мультифрактального анализа применительно к параметризации минеральных структур.
3.3.1. Предварительная подготовка изображений
3.3.2. Генерация сеток разбиений, формирование мер и расчет взаимных мультифрактальньгх характеристик
3.3.3. Проверка спектров на корректность, погрешности расчетов . .
3.3.4. Краткое описание технической реализации алгоритмов взаимного мультифрактального анализа
3.4. Тестирование программы .12.
3.4.1. Случай совпадения носителей мер.
3.4.2. Случай различных носителей мер, имеюших непустое пересечение
4. Приложение взаимного мультифрактального анализа к исследованию изменений в структурах шунгитов под воздействием внешних факторов
Заключение
Литература


В основе современного мультифракталыюго анализа лежит объединение двух независимых научных направлений, рассматривающих вопрос о характеристике муль-тифрактальных мер или распределений. Первое направление базируется на ранних статьях Б. Мандельброта, касающихся исследований турбулентности [, , ]. Независимо от Б. Мандельброта в году группа физиков II. Грассбергер, X. Хент-шель и И. Прокачиа [3, , ] предложили охарактеризовать меры размещений, используя обобщение идей, представленных А. Реньи в -е годы прошлого века. Основная идея П. Грасс-бергера, X. Хентшеля и И. Прокачиа — расширить это однопараметрическое семейство для нецелых значений ц. В середине восьмидесятых годов прошлого века эти направления были объединены в работе Т. Хэлси и др. Ключевая идея мультифрактального анализа состоит в том, чтобы носитель меры разбить на множества, которые имеют одинаковое масштабное поведение и вычислить размерность этих множеств. Также в работе Т. Хэлси и др. Реньи (? Раскроем подробнее идеи, предложенные Т. Хэлси. Пусть ц — вероятностная мера, определенная на подмножестве X евклидова пространства К4*. Вг{х) & г°, т. Тем самым разобьем носитель меры на множества точек, характеризуемых одинаковыми вероятностями заполнения, имеющих одинаковые масштабные поведения. Для каждого положительного значения а далее вычисляют хаусдорфову размерность dim(X„). Отсюда понятно появление термина ‘'мультифрактал” — исходное множество точек представляется в виде объединения различных однородных фрактальных множеств, каждое из которых имеет свое собственное значение фрактальной размерности. Т. Хэлси и др. Теорема (‘'Мультифрактальный формализм” Хэлси (]). Г( r(q). Р?МУ. Мультифрактальный спектр меры р совпадает с преобразованием Лежандра функции т, т. Лежандра. Однако впоследствии было показано, что далеко не всегда мультифрактальный формализм выполняется. Тем не менее мультифрактальный формализм получил широкое распространение, основанное на том, что функция /(а) в большинстве случаев оказывалась гладкой функцией от о и обнаружилось согласование результатов, полученных экспериментально из огромного количества различных физических экспериментов и полученных на простых теоретических моделях. Остановимся на некоторых работах по приложению теории фракталов и мультифракталов в геологии и материаловедении, основанных на мультифракталыюм формализме Хэлси. В работе [4] впервые построена схематическая модель разрушения высокопрочной стали с использованием мультифрактальных спектров. Вероятностная мера вычислялась по соотношению микротвердости мартенсита и феррита, что отвечало различным энергиям, затраченным на разрушение этих структурных составляющих. Мультифрактальный анализ конфигурации границ зерен в плоскости шлифа (сетчатой структуры) использован для исследования эволюции зеренных структур металлических материалов в неравновесных условиях. Например, изменения зеренной структуры тонколистных медных сплавов под воздействием лазерного излучения [] и изменения структуры и свойств материалов под воздействием нестационарных тепловых потоков типа срыва плазмы, создаваемых мощными импульсами лазерного излучения [, ', ], анализировались с использованием мультифрактальных представлений. Это позволило дополнить традиционные методы описания зеренных структур и выявить ряд необнаруживаемых ими закономерностей формирования зеренных структур при воздействии лазерного излучения. В частности, установлено снижение степени однородности и скрытой периодичности зеренных структур в зоне “лазерной закалки”. Анализ изменений зеренной структуры алюминиевого сплава при ударном воздействии скоростными частицами [] показал, что при внедрении частицы в материал совместное действие распространяющихся полей деформации и температуры вызывает активизацию рекристаллизационных процессов. Обнаружен эффект кластеризации зерен по размерам и форме на начальном этапе процессов собирательной рекристаллизации как простой, так и динамической. Установлена линейная взаимосвязь микротвердости и мультифрактальных характеристик, которые несут некоторую количественную информацию о термодинамических условиях формирования структур.