Алгоритмы и комплексы программ для решения задач математической физики с использованием метода неполной факторизации

• Автор: Гинкин, Владимир Павлович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Обнинск
• Количество страниц: 258 с. : ил.

Введение

Глава 1. Метод неполной факторизации.

1.1 Основные теоремы

1.2 Явные схемы.

1.3 Схемы для симметричных матриц.

1.4 Доказательство сходимости явной схемы Булеева для случая

симметричных матриц.

1.5 Метод сопряженных градиентов с прсдобуславливателсм

по схеме неполной факторизации

1.6 Неявные схемы.

1.7 еявнье схемы для пятидиагональных матриц.

Вторая схема неполной факторизации Булеева
Схема Лфакторизации Ф
1.8 Схема параболических прогонок П П.
Схема параболических прогонок ПП с0.
Схема параболических прогонок ПП с 0
9 Асимптотические оценки для элементов матриц в схеме ПП
Спектральный анализ сходимости схемы ПП.
Комбинированная схема НФПП
1.9 Неявные схемы для семидиагональных матриц.
1. Численные примеры.
1. Конечноразностное представление неявных схем неполной факторизации
для двумерных задач с несимметричными матрицами.
Вторая схема Булеева
Третья схема Булеева
Четвертая схема.
Схема Лфакторизации
Схема параболических прогонок.
Комбинированные схемы.
Сравнение различных схем
Неоднородная задача Дирихле.
I Однородная задача НейманаДирихле.
Несимметричные задачи.
1. Новая комбинированная схема неполной факторизации I для решения
трехмерных задач с симметричными и несимметричными матрицами.
Численные примеры
Выводы к главе I
Глава 2. Алгоритмы решения стационарных и квазистационарных
нейтроннофизических задач.
2.1 Трехмерный стационарный комплекс программ I.iЛ
2.2 Трехмерный квазистационарнын комплекс программ II.
2.3 Алгоритм пространственновременного расчета реактора.
2.4 Исследование погрешности аппроксимации при расчете активной зоны
реактора ВВЭР.
2.5 Расчет реальной зоны реактора ВВЭР
2.6 Расчеты кампаний реакторов типа ВВЭР.
Блок номер 3 Запорожской АЭС в топливной кампании.
Блок номер 1 Балаковской АЭС в 8 топливной кампании.
Блок номер 2 Калининской АЭС в топливной кампании
2.7 Схема расчета активной зоны реактора с измененной формой
Дискретизация области.
Методика учета неравномерного водяного зазора между .
Аппроксимация уравнений.
Результаты параметрических расчетов активной зоны реактора
ВВЭР со смещенными ТВС.
2.8 Организация вычислений в комплексе программ II.
Выводы к главе 2.
Глава 3. Алгоритмы решения нестационарных нейтроннофизических задач.
3.1 Методика решения нестационарного уравнения реактора.
3.2 Условно критическая и сопряженная задачи
Конечноразностный аналог условнокритической и сопряженной задач
Уточнение аппроксимации.
3.3 Нестационарная задача.
Решение уравнений кинетики
Формфункция. Уравнение, аппроксимация
Алгоритм решения уравнения для формфункции.
Константное обеспечение.
3.4 Краткое описание комплекса V, блоксхема.
3.5 Комплекс программ V
3.6 Описание моделируемой аварии с остановкой ГЦН
3.7 Расчет переходного процесса
3.8 Исследование точности аппроксимации нестационарных
уравнений реактора по времени.
3.9 Учет расширения активной зоны реактора в x,г геометрии.
3. Результаты расчетов аварии с учетом радиального расширения
активной зоны.
3. Аварии, обусловленных несанкционированным извлечением стержней
3. Описание моделируемой аварии с движением стержнейЛ
3. Результаты расчетов аварий, связанных с движением стержней.
3. Пространственновременное деформирование активной зоны
быстрого реактора.
3. Трехмерная нестационарная модель деформаций I3 в активной
зоне реактора.
3. Расчет деформирования активной зоны реактора типа БН
в результате аварии.
щ Выводы к главе
Глава 4. Алгоритм решения трехмерных уравнений конвективного
тепломассоперсноса и магнитной гидродинамики
4.1 Нестационарные уравнения магнитной гидродинамики
в приближении Буссинеска
4.2 Преобразование уравнений.
4.3 Разностная аппроксимация.
4.4 Уравнение для давления.
4.5 Алгоритм решения.
4.6 Случай переменной вязкости и аксиальной симметрии
4.7 Численные примеры
Выводы к главе 4.
Глава 5. Математическое моделирование процессов кристаллизации
расплавов в условиях микрогравитации
5.1 Внешняя задача.
5.2 Задача теплопроводности
5.3 Уравнения конвекции
5.4 Уравнения радиационного теплообмена
5.5 Методика решения внешней задачи
5.6 Реализация алгоритма.
5.7 Внутренняя задача
5.8 Результаты расчетов
5.9 Аномальные эффекты распределения примеси в монокристаллах Сс,
выращенных в космосе
5. Кластерная модель процесса кристаллизации
Вычислительный алгоритм.
Тестирование модели.
Выводы к главе
Основные результаты и выводы
Список литературы


В работе были исследованы двухуровневые итерационные схемы неполной факторизации для решения трехмерных разностных уравнений эллиптического типа. В этих схемах во внешнем итерационном цикле использовалась трехмерная схема Лфакторизации б, а во внутреннем различные варианты неявных схем для решения двумерных задач. В работе был предложен вариант распараллеливания метода одномерных прогонок, что позволяет надеяться на эффективное использование неявных схем для решения пространственных задач на многопроцессорной вычислительной технике. Некоторые результаты в этом направлении представлены в работе . В работах построены различные варианты схем неполной факторизации для решения трехмерных девятиточечных разностных уравнений эллиптического типа, получающихся в результате аппроксимации трехмерного уравнения реактора в x, геометрии. В работе был предложен и апробирован блочный вариант метода Лфакторизации для решения реакторных задач с внешним источником нейтронов, который позволил отказаться от итераций по группам при решении многогруппового уравнения диффузии нейтронов. В работе предложен вариант метода сопряженных градиентов с прсдобуславливателс. В работах этот метод развивался как наиболее эффективный метод решения уравнений с симметричными матрицами коэффициентов. В работах , предложены новые варианты метода неполной факторизации, обладающие высокой скоростью сходимости не только для задач с симметричными матрицами коэффициентов, но и для задач с несимметричными матрицами. В этот раздел вынесены теоремы общего характера, используемые далее при доказательстве сходимости схем неполной факторизации. Все теоремы, кроме теоремы, хорошо известны и приводятся без доказательств доказательства см. Все они относятся к теории Лматриц и регулярных разложений. Теорема, принадлежащая автору, позволяет доказать сходимость ряда схем, не относящихся к этому классу, в частности, схемы факторизации. Эта же теорема дает ключ к построению сходящихся итерационных схем для решения систем 1х с произвольной невырожденной матрицей А. Определение Коллатц. Матрица А из Мп монотонна, если Ах0 влечет 0, т. А не вырождена и А1 0 неравенство понимается поэлементно. Определение2. Варга. Матрица А из Мп с а , 0 для является Лматрицей, если А монотонна. Опрсдсленне3. Варга. Разложение А ЬВ регулярно, если , не вырождена с Г1 0, Г и ЬВ0. Теорема1. Фань Цзы. Матрица А из Мп с а 0 для у монотонна тогда и только тогда, когда существует х 0 такой, что Ах 0. Следствие, Если А является Лматрицей, А матрицей с ау 0 для у и А А, то А тоже Мматрица. Теопсма2. ПерронФробениус. Пусть I 0 неразложимая матрица из М. Я простое собственное значение А. Тсорсма3. Возницки. Пусть А1 и А2 две матрицы из МЛ и АА. Тогда 5ргАзргА2. Если А, и А2 неразложимые матрицы, то справедливо строгое неравенство. Обозначение. Пусть ,. Пусть Д максимальное собственное число матрицы А. Теорема4. Фробениус. Теопема5. Лсдерман. Пусть А 0. Тогда и1л1 Д 5и 1л, где т пнпа,у и 5 тах5,5у. Теорема6. Островский. Пусть Л. Тогда го1сг1 Д 5м1сг, где а и ш. Теорсма7. Если Л матрица из Л с ргЛ1, то Л не вырождена и I1 1 Л А2 Обратное утверждение также справедливо. Теорема8. Варга. Теорсма9. Варга. Пусть А 1ЛВ1Ь2В2 два регулярных разложения матрицы А и Лх 0. Тогда, если Я, В2 0, то 1 зргВх 8ргь2В2 0. Теорема. Возницки. Пусть А 1ЛЯ, 1В2 два регулярных разложения матрицы А и у 0. Ц В. Теорема. Адамар. Пусть А комплексная квадратная матрица порядка п. Тогда
из условия а 2К1 для следует да А 0. Тсорема. Гинкин . УУ Л В1 В. Доказательство. Пусть Я собственное число матрицы IV, а и отвечающий ему собственный вектор. Л 1Яди 0. Пусть 1 Лр У, где цу V действительные числа, . Н,Ии. Покажем, гто матрица Л Л Я может быть вырождена лишь при 1. Допустим, что у I. ГД I а1 V XI а. Согласно теореме Адамара, 1е1Л0. Следовательно, сделанное допущение неверно, и равенство 1. Я 2 1 или БргУ 1 , что и требовалось доказать. В третьем случае, используя условия аиЬи0, дба и допущение 1, получим для ги из 1. Отсюда также следует, что е1 Я 0. Следовательно, 1 и Я 2 1, т. И 1.