Применение метода моментных уравнений для построения и исследования устойчивости математических моделей со случайными параметрами

• Автор: Банько, Мария Анатольевна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Ставрополь
• Количество страниц: 155 с. : ил.

ГЛАВА 3. УСТОЙЧИВОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МОДЕЛЕЙ, ОПИСЫВАЕМЫХ ЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ С ПОЛУМАРКОВСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

3.1. Моментные уравнения математических моделей с полу марковским и коэффициентами

3.1.1. Вывод уравнений для моментов первого и второго порядка

для нестационарных моделей.

3.1.2. Вывод моментных уравнений для математических моделей

с кусочнопостоянными коэффициентами.

3.2. Вывод уравнений для частных плотностей моделей, описываемых системой линейных стохастических дифференциальных уравнений

3.3. Исследование устойчивости математических моделей.

3.2.1. Исследование 2устойчивости моделей с помощью моментных уравнений .

3.3.2. Построение функций Ляпунова для математических моделей, описываемых системой линейных дифференциальных уравнений
3.3.3. Построение функций Ляпунова для математических моделей, описываемых системой стохастических дифференциальных уравнений
3.4. Выводы по третьей главе.
ГЛАВА 4. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МОМЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
4.1. Демографические процессы
4.2. Математические модели динамики численности населения
4.3. Вероятностная модель народонаселения
4.3. 1. Построение модели.
4.3.2. Методика расчета модели
4.3.3. Моделирование динамик и численности населения мира.
4.3.4. Сравнительная характеристика результатов моделирования
4.4. Вероятностная модель динамики развития фирмы
4.5. Выводы по четвертой главе.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
ЛИТЕРАТУРА


Описание реальных процессов, как правило, приводит к составлению и исследованию уравнений содержащих случайные параметры, что требует дальнейшего развития теории устойчивости математических моделей, представляющих собой дифференциальные уравнения со случайными параметрами. В качестве случайных параметров обычно рассматривают коэффициенты дифференциальных уравнений, зависящие от случайных процессов винеровских, марковских, полумарковских и др. При этом наиболее разработанной является теория систем с марковскими процессами и белыми шумами теория стохастических дифференциальных уравнений. Теория устойчивости систем зависящих от иолумарковских процессов является менее разработанной. Истоками современной теории марковских процессов являются, с одной стороны, работы Маркова , опубликованные в г. А. Эйнштейном , 1. Башелье . Основные теоретические сведения по разным видам марковских процессов изложены в работах В. И. Тихонова, М. А. Миронова 2, Е. Б. Дынкина , А. Т. БаручаРида и др. В работах 5, 1 Б. Смит в г. П. Леви в г. Можно сказать, что этот процесс является марковским относительно некоторых случайных моментов времени моментов скачков траектории. Исследованию полумарковских процессов с дискретным множеством состояний посвящена работа Д. С. Сильвестрова . В работе рассмотрены различные способы задания полумарковских процессов и сопровождающих марковских процессов, исследованы класс функционалов типа моментов первого достижения, предельные и эргодические теоремы для регенерирующих процессов и процессов накопления с полумарковскими переключениями. Современное состояние теории непрерывных полумарковских процессов отражено в монографии Б. Г1. Харламова 6. В данной работе рассмотрен более общий класс случайных процессов с непрерывными справа и имеющими пределы слева траекториями в заданном метрическом пространстве. В данной работе показано, что полумарковские процессы обладают марковским свойством относительно любого внутреннего момента остановки. Класс полумарковских процессов включает в себя в качестве подкласса ступенчатые полумарковские процессы, а также все строго марковские процессы. Данная диссертационная работа посвящена исследованию математических моделей, коэффициенты которых зависят от марковских и полумарковских процессов. Кроме того, особое внимание уделено исследованию систем с возмущениями типа белого шума, которые описываются с помощью стохастических дифференциальных уравнений. Впервые стохастические дифференциальные уравнения рассматривались С. Н. Бернштейном ему принадлежит и сам термин. Ап, гп Вп, 2 ХЛ, где Хп независимые случайные величины, причем предыдущее равенство использовалось лишь для определения распределения 2п. Устанавливалось, что такое распределение существует, если диффузионный процесс со сносом А и диффузией И1 г имеет стационарное распределение, которое и появляется в качестве предельного. При таком подходе нельзя было говорить о траектории решения. При изучении механических систем, находящихся иод воздействием случайных сил, возникла необходимость рассмотрения стохастического уравнения уже для меняющейся со временем случайной величины случайного процесса. В работе Н. М. Крылова, . Н. Боголюбова рассматривалось предельное поведение такой системы в предположении, что взаимодействующие силы в пределе превращаются в процесс с независимыми значениями белый шум, а также доказывалось, что предельный процесс является марковским диффузионным процессом, для переходных вероятностей которого выводилось уравнение ФоккераПланка. Для строгого обоснования упомянутого предельного перехода И. И. Гихман в ряде работ , построил теорию стохастических дифференциальных уравнений, в которой, хотя использовались обозначения С. Н. Бернштейна, но уже говорилось о решении, доказывалось существование и единственность решения следовательно, была траектория, рассматривались другие вопросы, обычные для классических дифференциальных уравнений. Д вд величина, для которой Меа од, Ас2д оД. Уравнения последнего вида описывают эволюцию систем, находящихся под влиянием случайных сил с независимыми значениями. Учитывая, что зраектория является марковским процессом, стохастические уравнения при меняются для построения марковских процессов.