Математическое моделирование магнитного поля в присутствии идеально проводящих поверхностей с краем методом интегральных уравнений первого рода

• Автор: Науменко, Ян Александрович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Новочеркасск
• Количество страниц: 77 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение

Глава 1. Математическая модель

1.1 Обобщенная постановка .

1.2. Исследование уравнения.

1.3. Случай вмороженных потоков.

Выводы по главе 1.

Глава 2. Численная реализация

2.1. Численный метод

2.2. Особенности реализации.

Выводы по главе 2.

Глава 3. Программный пакет, примеры его практического применения
3.1. Краткое описание пакета
3.2. Контрольные задачи.
3.3. Примеры практического применения.
Выводы по главе 3.
Заключение.
Приложение. Краткие сведения об использованных гильбертовых
пространствах.
Литература


Попытки же использования МКЭ для таких задач приводят к системам линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) колоссальной размерности, являющимся к тому же плохо обусловленными. В данной диссертационной работе предлагается математическая модель на основе векторного интегрального уравнения типа Фредгольма первого рода для поверхностных токов. Классическая теория указывает на численную неустойчивость таких уравнений [8]. Однако имеются многочисленные примеры применения интегральных уравнений первого рода к задаче расчета электростатических емкостей систем проводников [9]. Отмечено, что ожидаемая численная неустойчивость не наблюдается, что было принято истолковывать проявлением так называемой саморегуляризации. До появления работы [], удовлетворительной теории, объясняющей обнаруженную экспериментально численную устойчивость скалярных интегральных уравнений электростатики первого рода не было. В упоминавшейся работе [6] для расчета магнитного поля в присутствии идеального проводника специальной формы применяется скалярное интегральное уравнение первого рода с весьма сложным ядром. К сожалению, в статье [6] отсутствует какое-либо обоснование применимости используемой математической модели и лишь отмечается численная устойчивость уравнения, выявленная в процессе численных экспериментов. Такое отсутствие интереса в литературе связано, видимо, с тем, что от векторной постановки задачи ожидается высокая вычислительная размерность. Однако, в настоящей работе показано, что при применении базисных полей специального вида вычислительная размерность модели не возрастает по сравнению со скалярными постановками (например в виде интегро-дифференциального уравнения первого рода для функции потока), и при этом имеет по сравнению со скалярными постановками ряд преимуществ. Теоретические вопросы существования и единственности решений интегральных уравнений первого рода различных специальных типов можно найти, например, в [-]. Однако вопрос корректности таких уравнений ни в одной из указанных работ практически не затрагивается. В главе первой настоящей работы рассматриваются теоретические аспекты математической модели в виде интегрального уравнения для поверхностных токов. Для указанного уравнения строится вариационное обобщение и показывается, что при подходящем выборе пары гильбертовых пространств, в которых действует оператор уравнения, интегральное уравнение первого рода разрешимо единственным образом и притом устойчиво. Здесь же отмечается, что теория остается справедтивой и для замкнутых поверхностей, причем простой вид ядра уравнения первого рода делает его привлекательной альтернативой для численной реализации по сравнению с интегральными уравнениями первого рода. Во второй главе предлагается и обосновывается численный метод решения уравнения и различные методы его эффективизации. В третьей главе описывается созданный на основе построенной теории программный пакет, приводятся результаты многочисленных контрольных расчетов. Также в этой главе рассмотрены примеры моделирования реальных технических задач с использованием созданного программного пакета. В приложении приводится краткое описание использовавшихся в первой главе гильбертовых пространств. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в [-]. Конференция студентов и аспирантов ЮРГТУ(НПИ) ,, и годов. Internationales Wissenschaftliches Kolloquium», сентябрь г. Ильменау, Германия. Ih European Congress of Mathematics» («4-й Европейский математический конгресс»), . Стокгольм, Швеция. Всероссийская научно-практическая конференция «Транспорт-», г. Ростов-на-Дону, - мая г. Выездная сессия секции энергетики отделения энергетики, машиностроения и процессов управления РАН. Альтернативные естественновозобно-вяющиеся источники энергии и энергосберегающие технологии, экологическая безопасность регионов, г. Ессентуки, - апреля г. Первая ежегодная научная конференция базовых кафедр Южного научного центра РАН, г. Ростов-на-Дону, 1- апреля г. По основным результатам диссертационной работы был сделан доклад на семинаре по математической физике Вычислительного центра РАН (г. Москва), который заслужил похвальную оценку.