Разработка и исследование схем программного моделирования устойчивости решений нелинейных дифференциальных уравнений на основе разностных методов

• Автор: Катрич, Сергей Анатольевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Таганрог
• Количество страниц: 220 с. : ил.

ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА . РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОГРАММИРУЕМЫХ МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ КРИТЕРИЕВ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИИ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ ОДУ

1.1. Построение базовой схемы анализа устойчивости решений нелинейных ОДУ.

1.2. Синтез и обоснование мультипликативных критериев устойчивое ж решений нелинейных ОДУ

1.3. Программное моделирование мультипликативных критериев устойчивости

1.4. Обоснование мультипликативных критериев устойчивости с конечным числом сомножителей для программного моделирования

1.5. Разностные оценки асимптотического поведения возмущенного решения задачи Коши.

1.6. Критерии устойчивости для систем нелинейных ОДУ

1.7. Об отличительных особенностях критериев устойчивоеи в случае систем линейных ОДУ.

1.8. Выводы.

ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ДОСТОВЕРНОСТИ МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ КРИТЕРИЕВ УСТОЙЧИВОСТИ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ПОГРЕШНОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
2.1. Перенос критериев устойчивости на разностные приближения решений ОДУ по методу ЭйлераКоши.
2.2. Достоверность мультипликативных критериев устойчивости на основе метода ЭйлераКоши в случае конечного числа сомножителей
2.3. О построении мультипликативных критериев устойчивости на основе методов Эйлера, РушеКутта и Адамса.
2.4. Программное моделирование мультипликативных критериев устойчивости для представленных разностных схем.
2.5. Достоверность мультипликативных критериев устойчивости на основе метода ЭйлераКоши в случае систем нелинейных ОДУ.
2.6. Оценка накопления пофешности метода ЭйлераКоши в условиях устойчивости
2.7. Выводы.
ГЛАВА 3. ПРОГРАММНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПО ПРИМЕНЕНИЮ МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ КРИТЕРИЕВ УСТОЙЧИВОСТИ И ЧИСЛЕННЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ ПО ОЦЕНКЕ ИХ ДОСТОВЕРНОСТИ.
3.1. Построение основной программной модели и реализация компьютерною анализа устойчивости решений систем нелинейных ОДУ.
3.2. Инвариантность программной модели анализа устойчивости решений систем нелинейных ОДУ относительно размерности системы.
3.3. Моделирование мультипликативных критериев устойчивости и оценка их достоверности в зависимости от величины шага разностной схемы
3.4. Моделирование мультипликативных критериев устойчивости и оценка их достоверности в зависимости от величины возмущений начальных данных.
3.5. Выводы
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА


Непосредственный подход к решению алгебраической проблемы собственных значений, а, следовательно, и вопроса об устойчивости, применяют лишь при малой размерности матрицы А 7 2,3 уже при п 4 на первый план выходят специальные численные методы решения таких задач . Критерий Гурвица дает необходимые и достаточные условия, при которых алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет корни лишь с отрицательными вещественными частями. Р1 айяатГ. А и а0 0, ап0, и1. Квадратная матрица порядка п
а а0 0 . О а а2 о . О аь а4 . ООО . Гурвица. Для того чтобы действительные части всех корней характеристического многочлена 6 матрицы Л были отрицательными, соответственно, система 5 была бы асимптотически устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все главные диаюнальные миноры матрицы С были бы положительны условие Гурвица. Чтобы стандартный полином вида 6 имел нули, лежащие лишь в замкнутой левой полуплоскости Ке0, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры ею матрицы Гурвица были бы неотрицательны . Если степень полинома Р сравнительно большая, то применение критерия Гурвица становится затруднительным ввиду необходимости подсчета определителей высоких порядков. В этом случае для определения расположения корней полинома Р7 на комплексной плоскости иногда оказыиакися более удобными геометрические признаки , эквивалентные критерию Гурвица. С анализом устойчивости линейных систем связан первый метод Ляпунова, с построением функций Ляпунова связан второй его метод. Следуя , охарактеризуем вначале второй метод. Второй прямой метод Ляпунова. К,0 0,т. К,лгб при е0,со. Классическими являются теорема Ляпунова об устойчивости движения с обращением в и теорема о равномерной устойчивости с обращением в , которые приводятся здесь в единой формулировке. Для устойчивости соответственно устойчивости равномерной по 0 невозмущенного решения . Я существовала непрерывно дифференцируемая определенно положительная соответственно и допускающая бесконечно малый высший предел функция Г,д, производная которой в силу уравнений возмущенною движения 7 постоянно отрицательна К,д0. Классическими теоремами о неустойчивости являются две теоремы Ляпунова, первая из которых необратима для произвольной системы 7, как показано в , а обращение второй доказано в , , . Они приведены здесь в единой формулировке. Г,. К,х, где X некоторое положительное число, ,. Теорема об асимптотической устойчивости дана Ляпуновым , в , показано, что при ее условиях имеет место равномерная асимптотическая устойчивость, и предложено ее обращение. В приведенных теоремах предполагается существование функции Ляпунова. Возникает вопрос существует ли в действительности такая функция, т. Вопервых, большая часть обратных теорем доказывается действительным построением вспомогательной функции, обладающей соответствующими свойствами . Однако такое построение почти всегда предполагает знание решений системы 7. Отсюда обратные теоремы обычно не дают способа практического отыскания функций Ляпунова. Вовторых, в ряде случаев устойчивость можно исследовать, рассмотрев сначала упрощенную систему. В случае если устойчивость последней может быть легко установлена, то на основе обратной теоремы делается вывод о существовании соответствующей вспомогательной функции. При определенных предположениях ее можно также использовать в качестве подходящей вспомо1ательной функции для исходной системы. Такой подход типичен для исследования устойчивости при постоянно действующих возмущениях и доказательства устойчивости по первому приближению . Подробно классические способы построения функций Ляпунова приведены, например, в , . Второй метод Ляпунова широко используется в теории управления и регулирования. Для анализа абсолютной устойчивости нелинейных систем автоматического регулирования используются функции ЛяпуноваЛурье, в задачах синтеза оптимальных управлений функции ЛяпуноваКеллмана, для оптимизации динамических систем функции ЛяпуноваЛагранжа . Вообще в настоящее время разработано большое число методов синтеза нелинейных регуляторов и анализа нелинейных систем автоматического управления методы абсолютной устойчивости, гармонической линеаризации, оптимального управления и др.