Численные методы приближения функций и решения уравнений на основе непрерывных дробей

• Автор: Корнеев, Петр Кириллович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Ставрополь
• Количество страниц: 152 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ.
ГЛАВА 1. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И ВЫЧИСЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ. ОБЗОР АНАЛИЗ

1.1. Методы решения линейных скалярных уравнений.

1.2. Решение уравнений при помощи цепных дробей

1.3. Вычисление значений функций.

Выводы.

ГЛАВА 2. РАЗРАБОТКА ИТЕРАЦИОННЫХ МЕТОДОВ ПРИ ПОМОЩИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ

2.1. Методы, основанные на разложении функции в цепную дробь.

2.2. Методы, основанные на разложении в цепную дробь функции, обратной данной функции.

2.3. Методы, основанные на представлении функции таблицей Паде

2.4. Методы, основанные на представлении функции, обратной к функции , таблицей Паде
2.5. Методы, основанные на аппроксимации функции интерполяционными
цепными дробями.
Выводы.
ГЛАВА 3. РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ ВЫЧИСЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ
3.1. Методы, основанные на разложении функции в цепную дробь.
3.2. Методы, основанные на разложении в цепную дробь функции, обратной данной функции
3.3. Таблица Паде для отношения степенных рядов.
3.4. Аппроксимации Паде для тригонометрического ряда Фурье и ряда, сопряженного с ним
3.5. Комбинированное приближение функций двух переменных
3.6. Комбинированное интерполирование функции двух переменных
ГЛАВА 4. РАЗРАБОТКА ПРЯМЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С МАТРИЦАМИ СПЕЦИАЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ.
4.1. Вычисление определителей трехдиагональных матриц с помощью цепных дробей.
4.2. Решение систем линейных уравнений с трехдиагональной матрицей
4.3. Вычисление определителей почти треугольных матриц при помощи цепных дробей.
4.4. Решение систем линейных уравнений с почти треугольной матрицей.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ


Разработан прямой метод решения систем линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей, основой которого является представление конечной восходящей цепной дробью первой либо последней координаты вектора решения. Получено представление для определителей с почти треугольными матрицами в виде произведения конечных восходящих дробей. Разработан прямой метод решения систем линейных алгебраических уравнений с почти треугольной матрицей, основой которого является представление конечной восходящей цепной дробью первой либо последней координаты вектора решения. Практическая значимость полученных результатов. Разработанные методы численного решения уравнений могут быть с успехом применены для математических моделей, основой которых являются нелинейные скалярные уравнения; дифференциальные уравнения как обыкновенные, так и в частных производных, сводящиеся к разностным схемам; системы линейных алгебраических уравнений как с матрицами специальной структуры, так и с матрицами общего вида. Разработанные методы вычисления определителей матриц специальной структуры могут быть использованы в различных областях прикладной математики. Разработанные методы приближения могут быть применены для вычисления приближенных значений функций, заданных аналитически или дискретно (таблично). Некоторые результаты работы внедрены в учебный процесс Ставропольского. Применение теории цепных дробей в вычислительной математике» для студентов старших курсов физико-математического факультета специальностей «Прикладная математика и информатика» и «Математика». Основные положения диссертации, выносимые на защиту. Итерационные методы уточнения отделенных простых действительных корней скалярного уравнения /(*) = 0, построенные на основе цепных дробей. Итерационные методы вычисления приближенных значений функций одного переменного, построенные на основе цепных дробей. Обобщение таблицы Паде для отношения степенных рядов. Таблица Паде для тригонометрического ряда и ряда, сопряженного с ним. Комбинированные методы приближения функций двух переменных. Методы вычисления определителей трехдиагональных и почти треугольных матриц при помощи конечных непрерывных дробей. Прямые методы решения систем алгебраических уравнений с трехдиагональными и почти треугольным матрицами при помощи конечных восходящих дробей. Апробация результатов диссертации. Ставропольского государственного университета ( г. На заседаниях научного семинара «Цепные дроби» (- гг. На научных конференциях преподавателей и студентов Ставропольского государственного университета (- гг. На научно-методической конференции но математике преподавателей педвузов (г. Махачкала, г. На Всесоюзной научной конференции «Цепные дроби и их применение» (г. Львов, г. Опубликованность результатов. Материалы диссертации опубликованы в научных работах. Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы (содержащего 3 наименования). Основная часть работы изложена па 2 страницах машинописного текста, содержит таблицу. В первой главе проведен анализ различных методов: решения скалярных уравнений, основой построения которых являются полиномиальные приближения, и все эти методы - итерационные; решения дифференциального уравнения Риккати при помощи цепных дробей различных типов; решения систем линейных алгебраических уравнений, основой конструирования которых являются как ветвящиеся цепные дроби, так и обыкновенные; приближения функций одного и многих переменных цепными дробями различных типов - многие из этих методов являются итерационными. Во второй главе строятся итерационные методы решения скалярных уравнений на основе разложения функции в цепную дробь; на разложении в цепную дробь функции, обратной данной функции; на представлении функции таблицей Паде; на представлении функции, обратной данной, таблицей Паде; на интерполировании данной функции и ей обратной цепной дробью. Для каждого метода: доказывается его локальная сходимость, строится погрешность метода на одном шаге, устанавливается скорость сходимости.