Квазиньютоновская оптимизация высокой точности

• Автор: Яновский, Тимур Александрович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Волгоград
• Количество страниц: 282 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение.

Глава 1Системный анализ и обзор методов оптимизации.

1.1 .Системный анализ проблемы оптимизации

1.2.3адачи постановочного характера и точность средств измерений

1.3.Машинная арифметика и анализ точности операций и процессов

ь 1.4.Масштабирование переменных, целевой функции и градиента

1.5.0ценивание квазнныотоновского направления

1 .б.Одномерная оптимизация

1.7.0ценивание точности решения и критерии останова .

Глава 2.Постановка задачи построения системы квазиньютоновской оптимизации высокой точности РгоГМтШР
2.1.Математическая постановка задачи квазиньютоновской
оптимизации высокой точности
2.2.Алгоритмическипрограммная постановка задачи оптимизации высокой точности.
2.3.Постановка задачи исследования системы оптимизации
высокой точности.
Глава 3.Решение задачи построения системы квазиньютоновской оптимизации высокой точности.
3.1 .Математическое решение.
3.2.Алгоритмическое решение
3.3.Программное решение
Глава 4.Численные исследования программной системы Рго1Л1тМР
квазиньютоновской оптимизации высокой точности.
4.1 .Тестфункции численного исследования
4.2.Численные исследования подсистемы дифференцирования
СгасйеШБеагсЬ.
4.3.Численные исследования подсистемы Яеи1Не1пус1Т регуляризации обратной квазиньютоновской матрицы Гессе.
з
4.4.Численные исследования подсистемы ЬпеБеагс оценивания шага
одномерного поиска.
4.5.Численные исследования системы квазиньютоновской оптимизации
высокой точности в целом
Заключение.
Библиографический список.
ь ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение
Система основных математических обозначений
риложение
Листинги результатов численных исследований подсистемы
регуляризации РиНевзпуеП системы РгоМпНР
Приложение
Листинги полного протокола квазиньютоновского процесса оптимизации
функции Вуда из начальной точки 3.0, 1.0, 3.0, 1.0 с результатами ЭУОанализа обратной квазиньютоновской матрицы Гессе.
I
I
Введение
Современные методы численной оптимизации традиционно широко применяются во многих областях человеческого знания. В последние десятилетия интерес к этим методам резко возрос в связи с серьезной математизацией теоретической и прикладной экономики. Содержание работ нобелевских лауреатов по экономикефинансам в е годы го столетия, например, знаменитая теория оптимизации инвестиционного портфеля Марковитца2, хорошо подтверждают это. Известны глубокие и интересные примеры решения сложных оптимизационных задач в технике4, электронике, системах управления с участием чсловека, химической технологии8, , , медицине5, авиации и космонавтике и т.д.
Важный аспект оптимизации связан с повышением точности ее решений. Именно это обстоятельство определяет значительный и все увеличивающийся интерес к квазиныотоновским методам, которые, как считается, могут позволить это сделать.
Эти соображения определили основные цели данной диссертационной работы, ее структуру и содержание.
В первой главе приведены результаты аналитического обзора современного состояния численных методов квазиньютоновской оптимизации, в частности, методов Давидона2, Флетчера, Пауэлла2, Бройдена6, Пирсона7, а также смежных методов адаптивного численного дифференцирования, одномерной оптимизации 3, , векторного и матричного анализом, , , , применения машинной арифметики конечной точности, , 4, 3.
Во второй главе дана постановка задачи синтеза диалоговой системы оптимизации высокой точности. Определены основные требования к создаваемой системе оптимизации, как по составу включаемых методов, так и по их программной реализации.
В третьей главе рассматривается решение поставленной задачи, охватывающее основные математические, алгоритмические и программные
аспекты реализации программной системы оптимизации.
Четвертая глава посвящена численным исследованиям реализованной программной системы. В качестве тестфункции выбраны известные функции Вуда7 и Пауэлла3а, имеющие важные и необходимые для целей тестирования особенности. Все приводимые фрагменты результатов численных исследований представлены таблично, детально прокомментированы и завершены рейтингами как используемых квазиньютоновских, так и их сопровождающих, численных методов дифференцирования, одномерного поиска и аппроксимации начальной обратной матрицы Гессе.
Для объективного оценивания полученных результатов проведено их сравнение с результатами минимизации выбранных тестфункций известными пакетами оптимизации, входящими в состав широко распространенных коммерческих систем компьютерной математики МаШСАП 8, МАТЪАВ 6, МаШетайса 4.
В заключении дана краткая характеристика проделанной работы и основных, полученных при ее выполнении, результатов.
Актуальность


СИ высокоточных процессорных средств, выполняющих преобразования входного воздействия . V в выходное значение у в числовой форме, с. Л,дг преобразование х в аналоговой форме, АГ дг аналогоцифровое преобразование, 2КЯ 1х преобразование в числовой форме. Широко используемым вариантом классификации погрешностей . Ау Ад,у д,, 1. Ад 1у и А п у методическая и инструмснтальнаяаппаратурная погрешности результата измерений, с Поэтому оценивание погрешности ПрИС сводится к оценке погрешностей отдельно для методической и инструментальной погрешностей. Вместе с тем, модель измерений 1. СИ. При постановке задачи оптимизации точностные характеристики используемых СИ, могут применяться по двум направлениям. Первое, связанное с выбором двусторонних ограничений на Xможет первоначально опираться на границы рабочего диапазона Пг СИ. Конечно, границы рабочего диапазона СИ при постановке задачи оптимизации целесообразно уточнить, например, на основе имеющегося технологического регламента. Однако при решении задачи оптимизации выбор в качестве ограничений на компонент,I граничных значений Ор может иметь определенный смысл, т. Второе направление, затронутое выше, связано с тем, что погрешность оценки независимых переменных может решаться на основе знания класса точности используемых СИ. А из этого следует, что установление реальных погрешностей данных не только показывает верхнюю границу точности будущих оценок оптимального решения, но и должно использоваться при определении объективно обусловленных требований к точности оптимального решения. Подчеркнем, что точность оценивания оптимального решения X прямо зависит от выбора вида и порядка целевой функции, что обычно недопонимается и не учитывается, приводя к неоправданно жестким критериям останова и вытекающим из них соответствующим численным проблемам, из которых зацикливание метода оптимизации является еще наиболее простым. Таким образом, знание метрологических характеристик СИ, используемых для получения исходных данных на этапе постановки задачи оптимизации, позволяет не только приближенно определить верхние границы изменения независимых переменных, но и является объективной основой для формирования требований к выбору параметров критерия останова, адаптирующих его к конкретной задаче оптимизации. КЗ. Все компьютерные числа на внутреннем, т. Однако, для удобства пользователя внешнеее представление чисел является десятичным. Машинные целые числа имеют конечное число разрядов. Множество I машинной системы представления действительных чисел с плавающей точкой, следуя общепринятой системе обозначений, с. З, 4, характеризуется основаниембазой системы исчисления компьютера, точностью числом цифр в мантиссе , минимальным и максимальным значениями показателя степени i и тах, т. Для компьютеров с битами число с обычной точностью поддерживается битами включая 1 бит под знак для мантиссы и 8 битами для порядка. Далее все действительные числа представляются, следуя научному обозначению, с. Модель арифметики с плавающей точкой на множестве I, следуя , с. Отмстим, что для каждого i 0 имеем
1. I, 1. I, удовлетворяющее неравенству с дс, при использовании арифметики с усечениемотбрасыванием разрядов. Арифметическая ошибка возникает, если для любых двух чисел плавающей точкой и ор обозначения любой из четырех бинарных арифметических операций, имеем . Полагая, что к максимальное число десятичных цифр, на которое можно переносить десятичную точку при вычислениях в данной арифметике, имеем , с. Однако, . I I. Ошибки компенсаций , с. В ряде работ, например , с. Точность арифметических операций. В случае, когда арифметической ошибки не происходит, то, следуя , с. Ь, машинной точности и способа реализации конкретной арифметики с плавающей точкой, а ет относительная машинная точносгь, с. Р для арифметики с усечением. КЗ. Для оценивания е, можно использовать следующую программу на языке С, позволяющую оцепить точность машины, на которой она выполняется, во время своего исполнения, с. МасЕрз1. МасйЕря 1 1. МасйЕрэ МасйЕрэ 0.