Теоретический и численный анализ задач идентификации для линейных моделей конвекции - диффузии - реакции

• Автор: Калинина, Евгения Александровна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Владивосток
• Количество страниц: 113 с. : ил.

Оглавление

Основные обозначения

Введение
Глава 1. Обратная задача идентификации младшего коэффициента стационарного уравнения конвекциидиффузииреакции

1.1 Постановка прямой задачи.

1.2 Постановка и разрешимость задачи идентификации.

1.3 Необходимые условия оптимальности

1.4 Единственность и устойчивость решения задачи идентификации

1.5 Дополнительные свойства решения системы оптимальности . .

Глава 2. Численный анализ обратной задачи идентификации младшего коэффициента стационарного уравнения конвекции диффузии
2.1 Численный алгоритм решения задачи идентификации на основе двухслойного градиентною итерационного метода алгоритм
2.2 Численный алгоритм решения задачи идентификации на основе алгоритма Ньютона алгоритм 2.
2.3 Сравнительный анализ результатов численных экспериментов,
на основе алгоритмов 1 и 2
Глава 3. Обратная задача идентификации плотности источника одномерного и двумерного нестационарного уравнения конвекциидиффузииреакции
3.1 Прямая начально краевая задача для одномерного нестационарного уравнения конвекциидиффузии
рсакции .
3.1.1 Постановка прямой задачи
3.1.2 Применение различных конечноразностных схем для численного решения прямой задачи.
3.1.3 Обсуждение результатов вычислительных экспериментов по решению прямой задачи
3.2 Обратная задача для одномерного нестационарного уравнения
конвекциидиффузииреакции
3.2.1 Постановка обратной одномерной нестационарной задачи. Сведение к краевой задаче для нагруженного уравнения
3.2.2 Определение порядка аппроксимации нагруженного уравнения
3.2.3 Описание численною алгоритма решения обратной задачи
3.2.4 Анализ результатов численных экспериментов решения обратной задачи
3.3 Обратная задача для двумерною нестационарного уравнения
конвекциидиффузииреакции
3.3.1 Постановка обратной задачи.
3.3.2 Сведение к краевой задаче для нагруженного уравнения
3.3.3 Описание численного алгоритма решения обратной задачи
3.3.4 Обсуждение результатов численных экспериментов . . .
Заключение
Литература


В связи с этим практический интерес представляет задача предварительной, до проведения реального эксперимента, оптимизации схемы или плана измерений. В работе [] предложен эффективный численный алгоритм нахождения старшего коэффициента одномерного параболического уравнения, основанный на применении фильтрации для уменьшения шума в данных. Наряду с коэффициентными, граничными и эволюционными обратными задачами на практике возникают и задачи восстановления плотностей неизвестных источников загрязнения. Часто эти задачи являются некорректными в классическом смысле. Во многих случаях естественно считать, что неизвестной является зависимость правой части от времени. Для приближенною восстановления неизвестной правой части используются различные подходы, основанные, прежде всего, на методах регуляризации []. Этот общий вычислительный алгоритм для решения некорректных задач идентификации использовался, например, в [] для многомерных параболических уравнений. Традициейный подход в решении проблем идентификации источников состоит и сведении обратной задачи к интегральному уравнению Вольтерра первого рода с использованием функций Грина прямой задачи. В частности, такой метод использовался в [| для нестационарного уравнения конвекции-диффузии при восстановлении плотности источника в случае, когда точка наблюдения находится вне рассматриваемой области. В некоторых работах (см. В работе || предложен численный алгоритм для приближенного решения обратной задачи, заключающийся в восстановлении временной компоненты плотности источников тепла при известном ее пространственном распределении для простейшего одномерного параболического уравнения теплопроводности. Указанный алгоритм основан на сведении рассматриваемой обратной задачи к вспомогательной граничной задаче для нагруженного параболического уравнения []. Данный численный алгоритм сводит решение обратной задачи к решению двух прямых задач для нестационарного уравнения теплопроводности на каждом временном слое. Следует отметить также работы [,], в которых восстановление плотности источника одномерного параболического уравнения теплопроводности осуществляется с использованием кусочно-линейных функций, коэффициенты которых определяются путем решения задачи минимизации, основанной на использовании переопределенных данных. В |-| рассмотрены обратные задачи, связанные с идентификацией граничных условий. Во многих прикладных задачах возникает проблема идентификации коэффициентов уравнений с частными производными. Коэффициентные обратные задачи для линейных уравнений являются нелинейными. Это обстоятельство существенно осложняет проблему построения вычислительных алгоритмов для приближенного решения коэффициентных задач, делает практически невозможным полное и строгое обоснование их сходимости. Для численного восстановления коэффициентов дифференциальных уравнений, как и для идентификации неизвестных плотностей источников загрязнений, используются различные подходы, многие из которых основаны на методах регуляризации []. Особого внимания заслуживают также методы параметрической идентификации, связанные с представлением искомого коэффициента в параметрическом виде и с нахождением параметров этот представления. Такой подход, в частности, осуществлен в [,] для восстановления старшего коэффициента нестационарного одномерного нелинейного параболического уравнения теплопроводности. В [] представлен численный алгоритм идентификации коэффициента конвекции двумерного эллиптического уравнения, основанный на применении градиентного метода и алгоритма Ньютона. Традиционный подход в решении задач идентификации младшего коэффициента состоит в сведении обратной задачи к интегральному уравнению Вольтерра первого рода с использованием функции Грина прямой задачи. В частности, такой подход был осуществлен в [] для определения младшего коэффициента одномерного параболического уравнения. Аналогичная задача рассмотрена также в [], где проведен сравнительный анализ применения для ее численного решения четырех конемно-разностных схем разного порядка точности.