Математическое моделирование и фрактальный анализ роста колоний биологических объектов с использованием программного комплекса

• Автор: Слетков, Денис Викторович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Елец
• Количество страниц: 208 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение.
ГЛАВА 1. Использование фрактальной геометрии и фрактального анализа в естественных науках.

1.1. Фрактальная геометрия и ее возможности

1.2. Сравнительный анализ методов вычисления фрактальной размерности растровых изображений.

1.3. Практическое использование фрактальной геометрии в естественных

науках.

Выводы по главе 1 и постановка основных задач диссертации

ГЛАВА 2. Моделирование и фрактальный анализ морфологических характеристик роста колонии на плоскости

2.1. Математическая модель роста колонии, учитывающая морфологические

характеристики популяции.

2.2. Комплекс программ для моделирования роста колонии и фрактального анализа изображений.
2.3. Исследование и моделирование процессов роста колоний на плоскости.
2.4. Соответствие результатов моделирования экспериментальным данным.
Выводы по главе 2.
ГЛАВА 3. Использование фрактальной размерности и разработанной математической модели для мониторинга реальных процессов развития популяций
3.1. Расчет фрактальной размерности в процессе роста популяции
3.2. Соответствие формы и динамики развития колоний, полученных на модели и в эксперименте
Выводы по главе 3
Выводы по диссертации.
Литература


К середине -х годов было уже хорошо известно, что при увеличении параметров в логистическом отображении имеет место последовательность бифуркаций удвоения периода. Соответствующие компьютерные результаты были представлены в работе Мэя (May ). В это время американский физик Митчел Фейгенбаум обнаружил, что точки бифуркаций удвоения периода накапливались к определенному пределу - порогу возникновения хаоса по закону геометрической прогрессии с показателем 4, Этот показатель оказался универсальным, т. Используя аппарат, аналогичный развитому ранее в теории фазовых переходов - метод ре-нормализационной группы, Фейгенбаум построил теорию, объясняющею универсальность удвоений периода (Feigenbaum , ). В дальнейшем переход к хаосу через удвоение периода, демонстрирующий обнаруженные свойства универсальности, наблюдался в огромном количестве нелинейных систем различной физической природы и их моделях. Одна из первых работ в этом направлении - эксперимент по конвекции в жидком гелии (Maurer, Libchaber ). Работа Фейгенбаума стимулировала также изучение и описание других сценариев возникновения хаоса - через перемешиваемость (Pomeau, Manneville ) и через разрушение квазипериодического движения в диссипативных системах (Feigenbaum etc. Ostlund etc. Rand etc. Shenker ). Уравнения (1. Lotka, , ; Volterra, , ). Лотки-Вольтерра. Экспериментальные проверки данных уравнений предприняты в большой серии работ Гаузе и его соавторов (Гяузе, ; Гаузе, Витт, ; Gause, ). Математические модели роста популяции (уравнения 1. Имеются математические модели, позволяющие рассматривать распространение популяционных автоволн: в середине -х годов было установлено, что бактерии в питательной среде могут формировать распространяющиеся популяционные автоволны (Adler ; Иваницкий и др. Keller, Segel ), так и на свойствах отдельных клеток (Rivero etc. Таким образом, краткий обзор работ, посвященных фрактальной геометрии, свидетельствует о принципиальной возможности ее использования в задачах морфологического анализа биологических объектов. Имеющиеся работы по математическому моделированию биологических объектов в основном направлены на моделирование динамики их роста, в то время как модели, направленные на исследование формообразования колоний практически отсутствуют. Эти задачи будут решаться в следующих разделах диссертации. В соответствии с общей постановкой задач диссертации, целью данного раздела является сравнительный анализ трех методов вычисления фрактальной размерности растровых изображений. Фракталом по определению Мандельброта (Mandelbrot ) является компактное множество, у которого размерность Хаусдорфа (или фрактальная размерность) (Hausdorff ) строго больше его топологической размерности dim# > dirnr. Размерность Минковского может служить аналогом размерности Хаусдорфа, удобным для использования в прикладных задачах. Эти размерности, как правило, совпадают, но алгоритм для вычисления размерности Минковского намного эффективнее. Далее рассматриваются методы для определения размерностей: метод оптимальных клеток и точечный метод для размерности Минковского а также метод Грассбергера-Прокаччиа для корреляционной размерности (Grassberger, Procaccia, ). Точечный метод (метод 1) представляет собой один из возможных подходов к вычислению фрактальной размерности компакта (Voss ; Кроповер ). Рассмотрим сетку, покрывающую весь компакт. Ее узлы будем называть ячейками. Каждую ячейку, имеющую с компактом непустое пересечение, будем считать за одну точку. Ясно, что именно эта схема реализуется при графическом выводе компакта на экран как массива пикселов. Подсчет числа точек в клетке означает подсчет числа пикселов в клетке. Для упрощения вычислений будем считать клетки квадратными. Размер L клетки означает число ячеек по каждой стороне. Ограничимся нечетными значениями L; в этом случае центральная ячейка будет равноудалена от всех сторон. Сначала вычислим вероятности P(m,L) того, что клетка размера L содержит т точек (ячеек) компакта. Для этого вокруг каждой точки фрактала, считая ее центральной, построим клетку размера L и подсчитаем число точек, попавших в нее. Предположим, что компакт содержит М точек.