Метод эталонного моделирования для приближенного решения нелинейных задач гиперболического, параболического и эллиптического типов

• Автор: Чебоксаров, Александр Борисович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Ставрополь
• Количество страниц: 194 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение.
Глава 1. Природа нелинейности задач математической физики и методы решения нелинейных уравнений

1.1. Причины возникновения нелинейности и типы нелинейных задач.

1.2. Методы специальных преобразований для решения нелинейных уравнений. Метод обратной задачи рассеяния.

1.З Методы обычного и обобщенного разделения переменных метод

дифференцирования.

1 .4. Теория возмущений и квазиклассическое приближение.

1.5. Вариационный метод и численные решения нелинейных

уравнений

Выводы к главе 1

Глава 2. Разработка метода моделирования для решения нелинейных уравнений математической физики
2.1. Метод моделирования для решения нелинейных уравнений основные положения, расчетная схема
2.2. Критерии применимости метода моделирования
2.3.Решение задачи о прозрачности нелинейного потенциального барьера.
2.4. Использование метода моделирования для решения уравнения
ипхиит 0.
Выводы к главе 2.
Глава 3. Решение тестовых нелинейных задач математической
физики методом моделирования
3.1. Нелинейное волновое уравнение с дисперсией.
3.2 Нелинейное уравнение параболического типа задача о
конвективной диффузии
3.3. Нелинейное уравнение эллиптического типа пизкоэнергетическое
рассеяние квантовых частиц в центральносимметрическом
Выводы к главе 3.
Заключение.
Список литературы


Краткое содержание работы. Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложений. В начале главы приведены известные на сегодня представления о природе нелинейности, ее физическое, геометрическое, динамическое (связанное с изменением свойств объекта) происхождение, имеющее место как в естественных условиях, так и в технологических процессах. Предложена и обоснована по аналогии с линейными математическими моделями система классификации нелинейных моделей по следующим основаниям: виду моделируемого процесса, источнику и типу нелинейности. В качестве примера-эталона (приложение 1) рассмотрена математическая модель- процесса распространения тепловых возмущений от двух мгновенных источников в среде с поглощением. Представлен сравнительный обзор- основных методов поиска точных решений нелинейных дифференциальных уравнений-, лежащих в основе математических моделей физических, химических, биологических явлений: В’ обзор включен метод автомодельных переменных, специальные преобразования (Миуры, Беклунда, Коула-Хопфа; МОЗР), разделение переменных, метод дифференцирования. Анализ расчетных схем методов, условий применимости, примеров применения (приложения 2,3) позволил сопоставить возможность и результативность, надежность и полноту, степень разработанности общего алгоритма, оценить их достоинства и недостатки. Во второй части главы изложены результаты анализа приближенных методов решения нелинейных уравнений, наиболее широко используемые в математическом моделировании. Базой'рассмотрения. Так, метод теории возмущений рассмотрен на примере решения квазилинейной задачи теплопроводности. Квазиклассическое приближение, его идеи, алгоритм, достоинства и недостатки раскрыты в процессе поиска приближенного решения нелинейного уравнения Шрёдингера (НУШ). Кортевега-де Фриза (КдФ) (приложение4). Завершается параграф анализом возможностей численных методов для интегрирования нелинейных уравнений. Общие выводы состоят в том, что приближенные и численные методы позволяют получать решения конкретных уравнений, но не создают универсальных возможностей (приложение 5). Общие выводы, которые можно сделать на основе аналитического обзора нелинейных моделей, сравнения точных и приближенных методов их решения, представленные в таблицах в конце главы, подтверждают необходимость и возможность разработки нового обобщенного» метода, обладающего широкой областью применимости, четкой расчетной процедурой и надежностью и прозрачностью алгоритмических действий. В небольшой по объему вводной части сформулированы, аргументы в поддержку необходимости создания^ такого приближенного аналитического метода, характеризуемого ясным физическим смыслом используемых моделей, применимостью в широком диапазоне значений, относительно быстрой сходимостью разложений. Параграф 2. Все системные компоненты метода описаны и содержательно аргументированы на примере уравнения вт-Гордона (2. В качестве конкретного примера (2. Шрёдингера. Во второй части главы на достаточно строгом математическом уровне исследованы возможности метода моделирования в поиске приближенных решений некоторых нелинейных уравнений математической физики. Введены понятия продолжаемых, колеблющихся и особых решений. Рассмотрены уравнения с частными производными второго и третьего порядков, содержащие нелинейности степенного вида для искомой функции и ее первой производной. Полученные результаты могут быть использованы для создания и исследования математических моделей нелинейных волновых процессов, переноса энергии и вещества, кантовых явлений, распространения и взаимодействия солитонов и пр. НУШ. Полученные методом- моделирования решения сопоставлены с результатами прямого численного интегрирования соответствующих уравнений. В заключении сформулированы и- обобщены основные идеи и результаты, полученные в диссертационном исследовании, определены дальнейшие перспективы работы в данном направлении. Список литературы включает 2 наименования научных изданий отечественных и зарубежных авторов.