Итерационные алгоритмы анализа стохастической устойчивости колебательных систем

• Автор: Губкин, Андрей Анатольевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 118 с. : ил.

Введение
1 Предельные циклы на участке удвоения периода. Анализ стохастической чувствительности при переходе к хаосу
1.1. Анализ детерминированной системы Пиковского. Структура участка перехода к хаосу.

1.1.1. Положение равновесия.

1.1.2. Участок перехода к хаосу. Построение предельных циклов .

1.1.3. Орбитальная устойчивость предельных циклов системы Пиковского.

1.2. Стохастическая чувствительность предельных циклов системы Пиковского

1.2.1. Стохастические циклы.

1.2.2. Функция стохастической чувствительности.

1.2.3. Метод установления для вычисления ФСЧ и его модификация

1.2.4. Чувствительность циклов системы Пиковского

1.2.5. Стохастические суперциклы
1.2.6. Экспоненциальный рост стохастической чувствительности суперциклов при переходе к хаосу
2 Стохастическая устойчивость линейного уравнения с периодическими коэффициентами
2.1. Необходимые и достаточные условия стохастической устойчивости в среднем квадратичном для линейных систем .
2.1.1. Метод функций Ляпунова.
2.1.2. Метод моментов
2.1.3. Спектральный критерий экспоненциальной устойчи
вости в среднем квадратичном линейных систем с периодическими коэффициентами
2.1.4. Линейное уравнение с периодическими коэффициентами .
2.2. Вычисление спектрального радиуса оператора стохастической
устойчивости для линейного уравнения
2.2.1. Случай уравнения с постоянными коэффициентами .
2.2.2. Уравнение с периодическими коэффициентами. Итерационный процесс.
2.2.3. Вычисление значений оператора стохастической устойчивости
2.2.4. Формулировка теоремы сходимости итерационного процесса
2.2.5. Необходимые сведения из функционального анализа .
2.2.6. Доказательство теоремы сходимости
2.2.7. Повышение точности вычисления спектрального радиуса
2.3. Анализ устойчивости стохастически возмущенного уравнения Матье
2.3.1. Области устойчивости в плоскости параметров 7 и а
2.3.2. Области неустойчивости в плоскости параметров в и и
3 Орбитальная стохастическая устойчивость предельных циклов
3.1. Экспоненциальная орбитальная устойчивость в среднем квадратичном предельных циклов
3.1.1. Определение устойчивости. Орбитальные функции Ляпунова .
3.1.2. Системы первого приближения. Рустойчивость .
3.1.3. Спектральный критерий устойчивости.
3.1.4. Оценки спектрального радиуса оператора стохастической устойчивости.
3.2. Вычисление спектрального радиуса оператора стохастической устойчивости для предельных циклов
3.2.1. Итерационный процесс
3.2.2. Ускорение вычисления значений оператора стохастической устойчивости.
3.2.3. Теорема сходимости
3.3. Стохастическая система Ресслера. Система первого приближения
3.4. Спектральный радиус оператора стохастической устойчивости и его оценки для системы Ресслера
3.5. Критическая интенсивность шумов в системо Рссслсра .
Заключение
Приложение. Программный комплекс
4.1. Вычислительные возможности комплекса
4.2. Реализация отдельных модулей
4.2.1. Поиск предела последовательности матриц.
4.2.2. Генерация случайного трехмерного вектора
Литература


Для этих систем введено понятие устойчивости, а для устойчивости получено необходимое и достаточное условие, позволяющее свести вопрос об устойчивости периодического решения исходной стохастической системы к задаче нахождения спектрального радиуса некоторого положительного оператора. Важную самостоятельную задачу представляет собой исследование экспоненциальной устойчивости в среднем квадратичном линейных стохастических систем. Для этих систем анализ устойчивости был сведен Хасьминским Р. З. к задаче разрешимости некоторого детерминированного матричного дифференциального уравнения. В работе Царькова Е. Ф. представлен аналогичный результат для случая системы с периодическими коэффициентами. Широко известным общим методом анализа устойчивости в среднем квадратичном линейных систем является метод моментов . Этот метод позволяет свести задачу исследования стохастической устойчивости к задаче асимптотческой устойчивости детерминированной системы дифференциальных уравнений достаточно большой размерности. На практике эта задача может представлять значительные вычислительные трудности. Поэтому для некоторых частных случаев систем с постоянными коэффициентами рядом авторов разработаны более простые конструктивные критерии устойчивости Невельсон М. Б., Хасьминский Р. З. , Ловит М. В., Якубович В. А., i Л. С. 7. В м году в работе Ряшко Л. Б. 9 спектральный подход был применен для решения задачи экспоненциальной устойчивости в среднем квадратичном линейных стохастических систем с периодическими коэффициентами. Получен спектральный критерий, сводящий задачу исследования устойчивости в среднем квадратичном тривиального решения линейной системы к задаче нахождения спектрального радиуса некоторого положительного оператора. Предельные циклы нелинейных систем в диссертации исследуются на участках перехода к хаосу в цепи бифуркаций удвоения периода. Исследования на этих участках связаны со значительными трудностями. Вопервых, вблизи точек бифуркаций существенно замедляется сходимость численных методов. Вовторых, построение многократных циклов обычным методом сечений неэффективно в силу их большой геометрической сложности. Витки циклов находятся близко друг к другу, изза чего может оказаться сложной задачей отличить, например. Численные методы с такими характеристиками дадут возможность не только анализировать единичные многократные циклы, но и исследовать целые интервалы структурной устойчивости, что позволит выявить ряд интересных закономерностей в поведении стохастических систем при переходе к хаосу. Разработке таких численных методов построения циклов и анализа чувствительности посвящена первая глава диссертации. Спектральный подход, разработанный Ряшко Л. Б., сводит анализ устойчивости в среднем квадратичном стохастических систем к нахождению значения спектрального радиуса некоторого положительного оператора оператора стохастической устойчивости. В работах , 9 доказан ряд теорем, дающих для спектрального радиуса оценки сверху и снизу, из которых следуют простые как необходимые, так и достаточные условия устойчивости. На практике оказалось, что полученные оценки часто определяют достаточно широкий интервал, в котором лежит спектральный радиус оператора стохастической устойчивости, что не позволяет воспользоваться ни необходимыми, ни достаточными условиями сходимости. Более того, информативность оценок быстро снижается при приближении к точкам бифуркаций удвоения периода. В связи с этим становится очевидной актуальность построения методов для вычисления с необходимой точностью значения спектрального радиуса оператора стохастической устойчивости, которые позволяли бы сразу отвечать на вопрос об устойчивости системы. Разработке таких численных методов для линейных уравнений с периодическими коэффициентами посвящена вторая глава, а для предельных циклов нелинейных систем третья глава диссертации. В качество базовых моделей для демонстрации результатов первой и третьей глав выбраны две известные трехмерные системы нелинейных дифференциальных уравнений система Ресслера и система Пиковского.