Статистическое моделирование в финансовых моделях диффузионного типа

• Автор: Гормин, Анатолий Андреевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 132 с. : ил.

Оглавление
Введение 1

1 Диффузионная модель финансового рынка

1.1 Описание модели

1.2 Оценки цен опционов с минимальной взвешенной дисперсией . .

2 Модель со стохастической волатильностью и скачками

2.1 Описание модели

2.2 Оценки цен опционов с минимальной взвешенной дисперсией . .

3 Нелинейная оптимизация

3.1 Диффузионная модель

3.2 Модель со стохастической волатильностью и скачками.

4 Применение к оцениванию опционов
4.1 Аппроксимации оптимальных функций
4.2 Эффективность построенных оценок.
4.3 Результаты моделирования.
Приложение
А Используемые обозначения
В Вычисление совместного распределения
С Вычисление интегралов
Список литературы


Такая задача актуальна в ряде приложений финансовой математики, например, в задаче калибровки модели, при оценивании рисков портфеля опционов (см. Задача уменьшения взвешенной дисперсии в общем виде рассматривалась в монографии С. М. Ермакова (3), где приведено решение для случая существенной выборки, когда оцениваются интегралы от нескольких функций с общей областью определения. В диссертационной работе решается задача минимизации взвешенной дисперсии для диффузионной модели с локальной волатильностью и модели со стохастической волатильностью и скачками. Получены оценки Монте-Карло с минимапыюй взвешенной дисперсией цен опционов. Эти оценки аппроксимируются для различных опционов и применяются для эффективного вычисления их цен. В основе опциона лежит базовый актив, цепа которого описывается случайным процессом (5е)о^г> заданным па вероятностном пространстве (П, Т, I? К таким моделям относятся модель Блэка-Шоулса (см. Хестона (см. Также широкое распространение получили финансовые модели, в которых цена базового актива описывается процессом с диффузией и скачками. Это, например, модель Мертона (см. Бэйтса (см. Модели со стохастической волатильностью подробно исследованы во многих работах, например, см. Опцион имеет ряд параметров, таких как цена исполнения, дата исполнения, и др. Набор таких параметров обозначим через А: Є МТІ. Р — некоторая вероятностная мора, называемая мартингальной (см. Р)-мартингалом. Для уменьшения количества обозначений предполагаем, что Р = Р, то есть процесс (? Р. В дальнейшем через Е будем обозначать математическое ожидание относительно Р. Рассмотрим задачу оценивания цен опционов Си = Е/? Д(5) с различными значениями параметра к Є в С К. А; Є О вычисляются на одних и тех же реализациях процесса (5*)о<і<т* При этом общая ошибка ? ЕДг(5)Л(5) - ЕЛг(5)Л(5)| 4- |Е«г(5)Д(5) - 1. Ь(Ьп, §1п), Ь'п = 6'(*т Я,) и ? П(„)(<-пД)+Ь(4п, 5<„)(Ж(-1У(„)+1б„ь;1 ((IV, - 1У,„)2 - (< - *„)). Е|5е - *? С не зависит от Д, р ^ 1. Схема Милыптейна была использована для получения численных результатов в примере 5. Уменьшение ? Ш>Ят(5)/*(5) или увеличения количества реализаций N траекторий процесса 5*. И то и другое приводит к увеличению временных затрат на моделирование. St — некоторый процесс, заданный на (П, ^,0), который описывается той же моделью, что и исходный процесс 5^; мера — абсолютно непрерывна относительно Р и плотность /;(? ЙР/сЙф; г/ обладает тем свойством, что Е%у(5) = 0. Оценка Ск(р, т? Те = ? Лг^), Л(? Поскольку и 5* описываются одной и той же моделью, то время на моделирование одной траектории этих процессов различается незначительно. Кроме того, временные затраты на вычисление р(5), т](в) можно сделать незначительными по сравнению с ? Ск, где к Є 0, основной задачей является уменьшение взвешенной суммы дисперсий. Целью диссертации является повышение эффективности оценок Монте-Карло стоимости опционов. Построение оценок Монте-Карло с минимальной взвешенной дисперсией цен опционов. Аппроксимация оценок с минимальной взвешенной дисперсией для различных опционов и параметров взвешивания. Разработка программ, эффективно вычисляющих цены опционов с помощью построенных оценок. Мера С)(с1к) определяет требование к точности оценивания величин Ск. Для удобства предполагается, что (3(0) = 1. TPdk(l,ri)Q(dk). Оценка Ск(руО) соответствует оценке но методу существенной выборки, Ск(1,7? Покажем, как методы существенной выборки и выделения главной части применяются для минимизации взвешенной дисперсии в общем случае. Пусть есть случайная величина ? Сг = E/i(0> С2 = Е/а (О. Rn —* М. Предполагаем, что конечны вторые моменты случайных величин /»(? Использование стандартной оценки Монте-Карло в данном случае заключается в вычислении N независимых реализаций , ? Ск как выборочное среднее j? J2iLi /*(? Здесь одни и те же реализации ? С*. Предполагаем, что щ н b qn — 1.