Численное решение модельных задач для квантовых газов

• Автор: Есенков, Владимир Сергеевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 99 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ.
ГЛАВА 1. ПОСТРОЕНИЯ ДЛЯ ОБОБЩННОЙ ЗАДАЧИ СМОЛУХОВСКОГО О ТЕМПЕРАТУРНОМ СКАЧКЕ И СЛАБОМ ИСПАРЕНИИ С ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ДЛЯ ЭЛЕКТРОНОВ В МЕТАЛЛЕ.
1.1. Обзор методов и подходов при решении граничных задач кинетической теории для квантовых газов.

1.2. Постановка задачи

1.3. Граничные условия

1.4. Численный метод решения

1.4.1. Явный конечноразностный метод.

1.4.2. Неявный конечноразностный метод.

1.5. Результаты расчета.

1.5.1. Получение функции распределения частиц.

1.5.2. Определение искомых кинетических коэффициентов.
ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЯ ДЛЯ ОБОБЩННОЙ ЗАДАЧИ СМОЛУХОВСКОГО ДЛЯ БОЗЕГАЗА О ТЕМПЕРАТУРНОМ СКАЧКЕ И СЛАБОМ ИСПАРЕНИИ С ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ГАЗ КОНДЕНСИРОВАННАЯ ФАЗА ТВРДОЕ ТЕЛО, ЖИДКОСТЬ.
2.1. Постановка задачи
2.2. Граничные условия
2.3. Численный метод решения
2.3.1. Явный конечноразностный метод.
2.3.2. Неявный конечноразностный метод.
2.4. Результаты расчета.
2.4.1. Получение функции распределения частиц
2.4.2. Определение искомых кинетических коэффициентов
ГЛАВА 3. ПОСТРОЕНИЯ ДЛЯ КЛАСИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ СМОЛУХОВСКОГО ДЛЯ ВЫРОЖДЕННОГО БОЗЕГАЗА О ТЕМПЕРАТУРНОМ СКАЧКЕ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ГАЗ КОНДЕНСИРОВАННАЯ ФАЗА.
3.1. Постановка задачи
3.2. Граничные условия
3.3. Численный метод решения
3.3.1. Явный конечноразностный метод
3.3.2. Неявный конечноразностный метод
3.4. Результаты расчета.
3.4.1. Получение функции распределения частиц
3.4.2. Определение искомых кинетических коэффициентов
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ


Попытки приблизить соответствующую аналитическую модель к реальности иногда приводят к непреодолимым трудностями при решении точных уравнений, вынуждая вводить различные предположения и упрощения, рассматривать ограничения или частные случаи. В данной работе предложены методы численного решения граничных задач кинетической теории задач Смолуховского о температурном скачке и слабом испарении на границе раздела фаз. Основной целью данной работы является построение математической модели, описывающей поведение квантовых газов вблизи границы раздела газ-конденсированная фаза для изучения влияния квантовых эффектов на макропараметры исследуемой системы. При этом для описания кинетических процессов вблизи поверхности используется кинетическое уравнение Больцмана с модельным интегралом столкновений. Граничные условия на поверхности носят чисто диффузный характер. На пути к поставленной цели основной задачей исследования на первом этапе была разработка численного метода, позволяющего вычислять функцию распределения частиц по скоростям на основании сформулированной системы интегро-дифференциальных уравнений, описывающих поведение квантовых ферми-газа, бозе-газа и вырожденного бозе-газа. Следующей задачей было выяснение оптимальных параметров сходимости численного метода решения, не зависимо от входных макропараметров системы, а также нахождение границ исследуемой области с учётом необходимой точности решения. И, наконец, на последнем этапе задача заключалась в построении итерационного алгоритма нахождения решения задачи с учетом ограничений, накладываемых законами сохранения импульса на исследуемую систему. В ходе исследований удалось применить аппарат численного решения интегро-дифференциальных уравнений на основе конечно-разностных схем типа Эйлера, а так же аппарат итерационного приближения к решению системы в условиях сложного задания граничных условий на исследуемую область. Существует множество работ, посвященных исследованию граничных задач кинетической теории для квантовых газов. Однако, практически отсутствуют результаты и публикации о построении численных методов для решения задач такого рода. В данной работе делается попытка заполнить этот пробел. Предлагается математическая модель, описывающая обобщённую и классическую задачи Смолуховского о температурном скачке и слабом испарении на границе раздела фаз для различных квантовых моделей (ферми-газ, бозе-газ, вырожденный бозе-газ) и разрабатываются численные методы для их эффективного решения. В ходе исследования применяются следующие математические методы. Рассматривается граничная задача для линеаризованного интегро-дифференциального кинетического уравнения Больцмана [] для квантовых газов. Граничные условия для рассматриваемой системы вдали от пограничного слоя, называемого слоем Кнудсена [], задаются с использованием распределения Чепмена-Энскога [], в то время как на стенке граничные условия имеют чисто диффузный характер []. При постановке задачи используется теория Боголюбова для слабо взаимодействующих кинетических газов (в частности для бозе-газа) для получения соотношения для энергии возбуждений, характеризующих взаимодействие молекул газа []. Лианеризация уравнения Больцмана проводится относительно абсолютного распределения Ферми (в задаче для ферми-газа), Бозе-Эйнштейна (в задаче для бозе-газа) и Бозе-Эйнштейна с нулевым химическим потенциалом (в задаче для вырожденного бозе-газа) []. При определении кинетического коэффициента скачка температуры в вырожденном бозе-газе используется определение сопротивления Капицы в качестве величины, обратной коэффициенту скачка температуры []. Для рассматриваемого уравнения строится конечно-разностная схема типа Эйлера []. Численное интегрирование выполняется при помощи квадратурных формул Симпсона []. Сходимость численной итерационной схемы определяется согласно правилу Рунге []. При нахождении корней функционалов вытекающих из законов сохранения импульса, являющихся ограничениями системы, использовался метод I Гыотона (метод касательных) для функций одной и более переменных [].