Математическое моделирование оптимальных процессов лечения инфекционных заболеваний

• Автор: Луговскова, Юлия Петровна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Оренбург
• Количество страниц: 139 с. : ил.

ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1.

БАЗОВАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИММУННОГО ОТВЕТА ПРИ ИНФЕКЦИОННЫХ ЗАБОЛЕВАНИЯХ.

1.1 Математическая модель динамики инфекционного заболевания, основанная на принципах функционирования иммунной системы

1.2 Возможные формы динамики инфекционных заболеваний и их классификация

1.3 Анализ влияния параметров модели на динамику различных форм заболевания

1.4 Стохастическая модель иммунного ответа при инфекционных заболеваниях.

1.4.1 Общий вид нелинейных стохастических моделей. Разложение в ряд

ТсйлораИто по повторным стохастическим интегралам

1.4.2 Стохастическая модель инфекционного заболевания с возмущенными коэффициентами
1.4.2.1 Стохастическая модель инфекционного заболевания с одним возмущенным коэффициентом
1.4.2.2 Стохастическая модель инфекционного заболевания с двумя возмущенными коэффициентами
Выводы к главе 1
ГЛАВА 2.
ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ИММУННЫМ ПРОЦЕССОМ ОРГАНИЗМА ЧЕЛОВЕКА ПРИ ИНФЕКЦИОННЫХ ЗАБОЛЕВАНИЯХ И
УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ.
2.1 Выделение управляющих переменных модели иммунного ответа при различных формах инфекционного заболевания и формирование управляемой модели
2.1.1 Управление процессом иммунного ответа при хронической форме
заболевания.
. 2.1.2 Управление процессом иммунного ответа при острой форме
заболевания.
2.1.3 Управляемая модель динамики иммунной защиты с разрывной правой частью и запаздывающим аргументом
2.2 Анализ управляемой модели, описывающей процесс инфекционного заболевания.
2.3 Выбор критерия качества в модели управления динамикой инфекционного заболевания.
2.4 Постановка задачи оптимального управления иммунным процессом при инфекционных заболеваниях.
2.5 Метод штрафных функций для задачи оптимального управления иммунным процессом при инфекционных заболеваниях
2.6 Условия оптимальности для задачи управления иммунологическими реакциями при инфекционных заболеваниях, заданной разрывной системой с постоянным запаздыванием в фазовых
переменных
Выводы к главе
ГЛАВА 3.
АЛГОРИТМ ОПТИМИЗАЦИИ РАЗРЫВНОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ИММУННЫМ ПРОЦЕССОМ ПРИ ИНФЕКИОННЫХ ЗАБОЛЕВАНИЯХ С ПОСТОЯННЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ В ФАЗОВЫХ ПЕРЕМЕННЫХ И ПОСТРОЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ПРОГРАММ
ЛЕЧЕНИЯ.
3.1 Численный метод решения разрывной задачи оптимального управления иммунным процессом при инфекционных заболеваниях с постоянным запаздыванием в фазовых переменных.
3.2 Моделирование иммунных реакций организма человека при различных формах инфекционных заболеваний
3.3 Моделирование оптимальных стратегий лечения инфекционных заболеваний
3.3.1 Оптимизация стратегий лечения с помощью иммунотерапии
3.3.2 Оптимизация стратегий лечения с помощью биостимуляции.
3.3.3 Сравнение программ лечения.
3.4 Анализ влияния параметров на решение задачи оптимального
управления.
Выводы к главе 3.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
ЛИТЕРАТУРА


Широкую известность получили работы Г. И.Марчука с соавторами , , , , , посвященные формированию математических моделей в иммунологии, в которых математические модели, реализованные на ЭВМ, сопровождаются интерпритацией, которая может быть использована для применения в практической медицине и иммунологии. Проведенный обзор литературных источников показал, что к настоящему времени, в связи с потребностями клинической и экспериментальной иммунологии, разработано значительное количество математических моделей иммунного ответа, определяющих поведение иммунной системы на клеточном уровне, часто формулируемых в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, вычисляемыми путм обработки статистических данных, за значения которых выбираются средние величины. Системы дифференциальных уравнений, возмущнные случайными процессами, являются стохастическими системами. К исследованию стохастических систем сводится решение широкого класса, задач различных дисциплин. Первая такая задача была рассмотрена Л. Башелье2 в связи с изучением одномерного броуновского движения частицы. Результаты Л. Башелье были обобщены А. Эйнштейном и М. Смолуховским 9 на многомерный случай. Болес широкая постановка задачи о стохастическом рассмотрении динамических систем содержится1 в работе А. А.Андронова, А. А.Вигга и Л. С.Понтрягина . Эти фундаментальные работы положили начало статистическому описанию динамических систем, получившему в настоящее время широкое применение и развитие. Анализ стохастических систем сводится к исследованию вероятностных и статистических свойств их решений. Основы теории численного решения стохастических дифференциальных уравнений были заложены Г. Н.Мильштейном , Р. Е.Юоееп , Е. РЫеп 2,. Н.БсЬигг 3, Д. Ф.Кузнецовым , которые обобщили известные результаты по данному вопросу, полученные в основном в гг. Перечисленные авторы использовали подход к численному решению стохастических дифференциальных уравнений, который основан на конечной дискретизации временного интервала и численном моделировании решения стохастического дифференциального уравнения в дискретные моменты времени с помощью стохастических аналогов формулы Тейлора и специальных методов аппроксимации повторных стохастических интегралов. Г.И. Марчуком, на основе которой, предполагая, что значения некоторых коэффициентов динамической системы не являются однозначно определнными вследствие их зависимости от множества непрогнозируемых факторов и случайную составляющую имеют два коэффициента коэффициент скорости размножения антигена и коэффициент скорости продукции антител лимфоцитами построена стохастическая модель, представленная системой нелинейных стохастических дифференциальных уравнений Ито, дополненной соответствующими начальными условиями. Представлен численный метод моделирования решений нелинейных систем стохастических дифференциальных уравнений Ито, описывающих динамику иммунного ответа человеческого организма, основанный на доказанном Д. Ф.Кузнецовым унифицированном1 разложении ТейлораИто по повторным стохастическим интегралам с их последующей аппроксимацией с помощью полиномиальной системы функций. В последнее время в условиях сложной динамики иммунной системы выработка гибкой программы лечения, основанной на управлении функционированием иммунной системы, для достижения комплекса разнообразных целей, связанных с мерой эффективности защиты организма, критериев, оценки которой множество, становится одной из важнейших задач медицины. В связи с этим представляют интерес задачи оптимальногоуправления иммунным ответом, где управления можно рассматривать как функции от времени, отражающие возможные фармакологические или физиологические воздействия на иммунный процесс с целью лечения заболевания. Математическая теория оптимального управления была создана в середине х годов. В теории оптимального управления произошел синтез идей и методов классического вариационного исчисления и современных принципа максимума Л. С.Пончрягина, принципа оптимальности Р. Беллмана.