Устойчивость линейных периодических моделей с запаздыванием

• Автор: Ульянов, Евгений Валерьевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 126 с. : ил.

Содержание
ВВЕДЕНИЕ
1 ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С КРАТНЫМИ ЗАПАЗДЫВАНИЯМИ

1.1 Метод функций Ляпунова

1.2 Дифференциальные уравнения второго порядка .

1.3 Система дифференциальных уравнений второго порядка

2 ПРИМЕНЕНИЕ СИНГУЛЯРНЫХ ЧИСЕЛ ОПЕРАТОРА МОНОДРОМИИ ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЙ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

2.1 Постановка задачи.

2.2 Краевая задача доя оператора монодромии

2.3 Краевая задача доя сопряженного оператора

2.4 Сингулярные числа оператора монодромии .

2.5 Достаточные условия асимптотической устойчивости периодической системы дифференциальных уравнений с запаздыванием .
3 ОБЛАСТИ УСТОЙЧИВОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ФРЕЗЕРОВАНИЯ
3.1 Описание физической модели
3.2 Математическая модель фрезерования
3.3 Характеристическое уравнение для математической системы фрезерования .
3.4 Система дифференциальных уравнений для определения границы области устойчивости.
3.5 Алгоритм расчета областей устойчивости
3.6 Результаты проведенных расчетов границы области устойчивости и их
сравнительных анализ
3.7 Реализованные процедуры тестирования компьютерной программы построения границы области устойчивости.
3.8 Выбор и влияние метода численного интегрирования при реализации процедуры построения границы области устойчивости.
3.9 Использование многочлена Лагранжа для построения границы области устойчивости, с помощью приближенного характеристического уравнения
ПРИЛОЖЕНИЕ. Программный комплекс
ЛИТЕРАТУРА


Для нахождения областей устойчивости используется метод Д - разбиения, в случае единичного круга []. Граница области устойчивости определяются системой нелинейных уравнений. Задача нахождения неявных решений системы нелинейных уравнений заменяется процедурой численного интегрирования системы нелинейных дифференциальных уравнений. Начальные условия для реализации процедуры численного интегрирования системы нелинейных дифференциальных уравнений находятся с помощью метода Ныотона. Второй подход к задаче построения границы области устойчивости связан с использованием аппроксима-ционных характеристических уравнений, которые строятся с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа. Для реализации этого подхода были разработаны процедуры направленные на ускорение процесса построения границы области устойчивости. При анализе результатов проведенных расчетов были изучены факторы, оказывающие существенное влияние на устойчивость процесса фрезерования. Полученные результаты сравнивались с результатами расчетов выполненных R. Sridhar, R. E. Hohn, G. С. В. Шильмана в его работе |5). Анализ полученных результатов показал хорошую точность и скорость работы алгоритма численного построения границы области устойчивости. Краткое содержание работы. Глава 1 посвящена исследованию устойчивости линейных динамических систем с запаздываниями методом функций Ляпунова. В параграфе 1. Кп, ш > 0, Ли (к = 0, . Системе (0. A{t,z) = ]СГ=о zkAk(t)i t € R, z € С. Здесь С обозначает множество комплексных чисел. Теорема 0. Из асимптотической устойчивости семейства систем (0. С, г < 1}, следует асимптотическая устойчивость систе. Для выполнения условий теоремы (0. Используя принцип максимума модуля [] для собственных чисел матрицы монодромии системы (0. Следствие 0. Если система (0. Теорема 0. Аналогичный метод используется при исследовании асимптотической устойчивости автономных систем с запаздываниями, когда требуется получить условия устойчивости этих систем при всех запаздываниях. Указанная задача сводится к алгебраической [, , , , , , ]. Для периодических систем с запаздыванием задача исследования утойчивости однопараметрического семейства систем обыкновенных дифференциальных уравнений намного сложнее. Для решения последней задачи используется второй метод Ляпунова. В монографии ]3; с. Мы использовали данный подход для оценки характеристических показателей однопараметрического семейства систем (0. Рассмотрим матричную функцию G, определяемую отображением R х С —> СПу где Сп — n-мерное пространство над нолем комплексных чисел. Потребуем, чтобы функция G(-,z) допускала кусочно-непрерывную производную, была и>-периодической и при всех t е R, z € С матрицы G(t, z) были эрмитовы и положительно определенными. Описанный класс матричных функций G будем обозначать как G. R, z Є С. С, z = 1}. Q(t, z) - qG(t, z)) = 0, ieR, z є C. Теорема 0. Пусть г — произвольное, фиксированное комплексное число и А(г) — характеристический показатель системы (0. Для сколь угодно малого ? Ч(*,г)^-? Яе (г) < ~ ^ ц{Ьу? Следствие 0. Для асимптотической устойчивости системы (0. Я,? О)(Н < 0, шах I q(t) г)(Я < 0. Для периодических систем дифференциальных уравнений с запаздываниями второго порядка полученный результат можно конкретизировать. Ь, х) > 0, с{Ь, г) > 0, о(1, г)с(1, г) — |6(? Тогда уравнение (0. А(? С(? Ь(Ь,г)2,Ь 6 К, 2 € С. Ле(б‘рЛ(? К(. Л(«,г)))2 - е-2^)Д(г^г), (€8, г? С. (0. Используя этот результат в параграфе 1. С}ъ$)х{1 - ки)) = 0, (0. К —у К, Рк и Q* (к = 0, . Рассмотрим для (0. P(t, z)x(t) -f Q(t, z)x{t) — 0, (0. Pk(t), Q(t,z) = yizkQk(t), t e R, 2 € C. Ь,х)у = 0 (0. Р*(<) = - 5^(0. I P(t,z)dt = 2//0(z), 2 е С. Тогда характеристические показатели Л(2), Л(г) уравнений (0. Л(2) = Л^) — цо(г), 2 € С. Отсюда следует, что оценка максимального характеристического показателя для уравнения (0. Хилла (0. Уравнению (0. Исходя из следствия 0. I ~ /ч(Ь,г)(1Ь - 5К(д0(г))) < °> ? Л - до(0) < 0. Используя формулу (0. Справедлива теорема. Теорема 0. Для асимптотической устойчивости уравнения (0. В параграфе 1. Ж —> Rn, и > 0, В* (к = 0, . Запишем для (0. Ро, Po(t) >0, t Є R.