Мультиоператорный метод построения и анализа математических моделей сложных систем : на примере электромагнитных

• Автор: Казаков, Олег Андреевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 306 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Замкнутые системы билинейных форм и связанные с ними уравнения математических моделей
1.1. Разложение вектора но ортонорм ированной системе, порожденной другим вектором, и замкнутые системы билинейных форм
1.2. Замкнутые системы билинейных форм пары векторов и, у в случае, когда один из векторов принадлежит линейной оболочке, порожденной другим вектором
1.3. Матричные соотношения, возникающие при взаимном ортогональном проектировании подпространств, порожденных векторами пары и, у и системой операторов

1.4. Замкнутые системы билинейных форм пары векторов и, у в общем случае

1.5. Некоторые свойства матриц У , и1 и матрицы билинейных форм Р

Глава 2. Мультиоператорные модели

2.1. Линейные свободные мультиоператориые алгебры

2.2. Мультмоператорныс линейные пространства, орбиты и аннуляторы

2.3. Мультиоператориые модели, связывающие пару векторов и, У
2.4. Мультиоператориые уравнения, связывающие пару векторов и, у, принадлежащих конечномерному пространству
2.5. Алгоритмы вычисления матрицы билинейных форм и коэффициентов мультиоператорных уравнений
Глава 3. Мультиоператорные дифференциальные модели уравнения на классе скалярных аппроксимирующих функций одной переменной применение метода Крылова
3.1. Некоторые вопросы использования мультиоператорной алгебры АР для построения дифференциальных мультиоператорных моделей
3.2. Применение сглаживающих сплайнов и БПФ для построения периодических непрерывных аппроксимаций дискретных сигналов
3.3. Мультиоператорные дифференциальные модели для функций входа и выхода, аппроксимируемых тригонометрическими полиномами Фурье
3.4. Оценки размерности базиса Крылова, ачгоритмы построения мультиоператорных дифференциальных уравнений и результаты расчетов на примере МРГДмодели дугового разряда переменного тока
Глава 4. Мультиоператорные дифференциальные модели вход выход на классе векторных аппроксимирующих функций одного аргумента
4.1. Общие вопросы
4.2. Построение мультиоператорных моделей с помощью алгебры, порожденной оператором дифференцирования и оператором циклической перестановки компонент векторфункций
4.3. Ортогональные проекторы и метод симметричных составляющих
Глава 5. О физической интерпретации реактивной мощности
5.1. Представления реактивной мощности в распределенных параметрах электромагнитного поля
5.2. Энергетическое представление реактивной мощности объемный интеграл
5.3. Энергетическое представление реактивной мощности поверхностный интеграл
5.4. Реактивная мощность действие объекта
5.5. Лагранжевы структуры электромагнитного поля
Заключение
Литература


Но в прикладных задачах идентификации систем не всегда можно обосновать физически или хотя бы математически выбор класса моделей, конструируемых с помощью исключительно ортогональных унитарных операторов, генерирующих именно ортогональный или подобный ортогональному базис, порожденный одним из пары векторов и, у. Например, использование операторов кратного дифференцирования позволяет построить класс динамических моделей системы. Г.С. Зиновьев в работе предлагает использовать высшие реактивные мощности За и, Уу, где й оператор дифференцирования по времени, к 1,2,. Если выбран свободный модуль операторов О с некоторой бесконечной базой А, е Сл, то разложение у ш, И е С произвольного вектора векторфункции у е Ь существует тогда, когда евклидово унитарное пространство Ь является линейной оболочкой Ь яраиА,и, 0,со бесконечномерной, полной системы векторов А,и, 0,оо, порожденной вектором и е ,. Очевидно, что это справедливо не для всех векторов векторфункций и е Ь. О с конечной системой образующих операторов базой А, е Сц и, соответственно, конечным множеством параметров а,. Но даже если для выбранного модуля операторов У и заданных векторов векторфункций и е Л, у е Ь нельзя получить разложение вида у Ии или и Иу, может существовать соотношение уравнение модели системы вида у ш с операторамиббиАеб. А, Од, А. Аг х а1 Ар. V х Ь. А,и, 0, У 1 линейно независима, т. А,и, 0, У 1 подпространства ОсР, порожденного вектором и. Базис подпространства и будем представляй, в виде вектора и,. Д,. Д . Разложив проекцию рг у вектора у на подпространство и по векторам базиса и А, получим выражение
У РГУ оП. Ди оП у . А умножив 1. Луи Л,и,у АуДи, Ди УДи, Ар, У 0, 7, 1. Р аС, 1. Грама базиса 4 метрическая матрица подпространства Ц а сР,. Р Аои, у,. Л,и, у,. Р А0и, у,. Лматрица векторстрока, сопряженная матрице Р Т символ транспонирования. РЧп1, 1. Р и матрицы Си обращение матрицы Си по правилу Крамера. Если у е 1, оПиУ го равенство 1. ГйЛ,и 1. А, взаимосвязь пары векторов и, у, которые можно рассматривать как частное решение этого уравнения. Умножив 1. ГХй4и у1У 4й уаР
которое после подстановки 1. Цу2 РСГР. Матричное уравнение 1. Р и Си и является аналогом равенства Парсеваля 1. Вследствие этого элементы матрицы векторастолбца Р 1. А1 х ягДх, для V х Ь. Аи, 1, , Л . Аыу, 1, К, К . А,и, 1, сЬ и Г зрапАу, 1, К подпространств, порожденных соответственно векторами и и у. Оя, А Оя. Базисы подпро
странств 1 и К будем представлять в виде векторов И соответственно уА гУ Афу,А. КУТ. В ортогональных разложениях компонент базисов и, уА проекции базисных векторов одного подпространства на другое можно представить как результат действия рг4гу 2Л2,У, ргу4уои РДф операторов ортогонального проектирования О У 1и Я С У на эти базисные векторы
А,У р Л,УоЛи А. У Хл4ми оЛи А,У Оз. Л,и 1, Ли гу 0ЛГ Афи , 1, , 1. Уа 0ул у,1 О иА уА . А Яи . К УА иА 1. А, ЯиА Иу векторы с компонентами ргиАуу 0АаУ и соответственно ргрЛи Д,и О, Я матрицы с элементами Р, г е Р. У в подпространстве Ц с базисом иА и оператора Я У в подпространстве У с базисом уА УлХоиАх,. А4Кут9 и о1уДи,. Ли7 векторы, компоненты охиАу, огукоторых являются перпендикулярами к подпространствам и и соответственно У. Линейная оболочка ортогональных проекций базиса ул является образом ш О оператора О ргуДу ОЛу ш О с, и, а линейная оболочка ортогональных проекций базиса и. Я оператора Я ргуАи ЯА0и т Я с У . Из 1. У и соответственно перпендикуляров оАу к подпространству Ц являются подпространствами объединения Iи У подпространств, порождаемых векторами и и у. Умножив скалярно уравнение 1. Аяу9к9К и используя условия ортогональности ТД2У 0, ргду, ОЛуД. Л,У 4 ,, А и, , 1, Л. Л,У ЛУ I 4у Л,У. Л.ку 1 К , , К. V . Грама базиса и. Уа метрические матрицы подпространств V и У
г 1у У. Лчоу . Грама компонент вектора у. К матрица билинейных форм пары весгоров и, у. Для электромагнитных систем, когда векторы у, и являются векторфункциями тока и напряжения, элементы матрицы билинейных форм Р 1. А п 1, , так и множеству 1, К. Поэтому ниже матрицу Р будем также называть матрицей мощностей пары векторов и, у. Умножив скалярно уравнение 1. Здесь иа Ммерное арифметическое пространство, линейно изоморфное подпространству Ун ЛГмерное арифметическое пространство, линейно изоморфное подпространству У. Ък Ьк,. Ь9. ЬсК е Уа на векторстолбец базиса
1.