Математическое моделирование и анализ аттракторов и бифуркаций нелинейных стохастических систем

• Автор: Перевалова, Татьяна Владимировна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 171 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Стохастические аттракторы и бифуркации

1.1 Одномерные системы .

1.1.1 Линейная стохастическая система.

1.1.2 Квадратичная стохастическая система.

1.1.3 Кубическое стохастическое уравнение.

1.2 Двумерные системы.

1.2.1 Система Хопфа мягкий режим

1.2.2 Система Хопфа жесткий режим.

2 Анализ аттракторов методом функции стохастической чувствительности

2.1 Устойчивость детерминированных аттракторов
2.2 Функция стохастической чувствительности.
2.2.1 Стохастическое равновесие.
2.2.2 Стохастический цикл
2.2.3 Случай цикла на плоскости.
2.3 Стохастический анализ классических моделей
2.3.1 Система Хопфа мягкий режим
2.3.2 Система Хопфа жесткий режим.
2.3.3 Оценка погрешности аппроксимации
2.3.4 Осциллятор ВандерПоля.
2.3.5 Модель брюсселятора.
3 Программный комплекс Моделирование и анализ аттракторов нелинейных стохастических систем
3.1 Постановка задачи.
3.1.1 Назначение комплекса.
3.1.2 Обзор моделей
3.2 Обзор методов.
3.2.1 Моделирование детерминированных систем.
3.2.2 Численное моделирование стохастических систем .
3.3 Программная реализация
3.3.1 Решаемые задачи для одномерных систем
3.3.2 Решаемые задачи для двумерных систем.
3.4 Интерфейс пользователя .
Заключение
Литература


Для системы (0. ФПК (0. Значения х, отвечающие максимальным значениям плотности вероятности р(х) играют важную роль в описании стохастических равновесий: величины х отмечают точки, в которых концентрация случайных состояний системы максимальна. В работе исследовано взаимное расположение х и х в зависимости от шума: в присутствии лишь аддитивного шума точки с максимальной и минимальной концентрацией совпадают с точками покоя детерминированной системы; при мультипликативных шумах точка максимальной концентрации х смещается от равновесия х детерминированной системы. Для величины сдвига ? Лемма 1. Пусть х — устойчивое равновесие (}'{х) < 0). В разделе 1. У детерминированной системы при ц ф 0 существует единственная точка покоя х = 0, устойчивая при значении параметра х < 0 и неустойчивая при д > 0. Для стохастического уравнения (0. ФГТК (0. При этом в зоне параметра // ? Также рассматривается стохастически возмущенная система (0. Построено решение стационарного уравнения ФПК (0. Получено, что в интерпретации Стратоновича не существует зоны стабилизации неустойчивой точки покоя. При р < 0 в системе (0. В разделе 1. УХ о dw 4- сг2 о dw2, (0. У детерминированной системы существуют две точки покоя = 0 и х2 = ? При значении параметра ? При /і > 0 равновесие х = 0 неустойчиво, а х2 = /і устойчиво. Для стохастического уравнения (0. Показано, что в системе с аддитивным шумом не существует регулярного стохастического аттрактора, траектории стохастической системы уходят в бесконечность. В случае воздействия на систему только невырожденного мультипликативного шума (<ті Ф 0, < = 0) найдена стационарная плотность распределения, и проведен анализ форм ее графика в зависимости от параметров системы. Обнаруже-но, что если ? В системе (0. Раздел 1. JX о dw 4- cr2 о dw2. Щ = -y/? При ? При ? Ц, я3 = — ч//7. В случае, когда на систему действует только аддитивный шум (<7] = О, сг2 ф 0), проведен анализ поведения решения стохастической системы в терминах функции плотности распределения. При д > 0 у детерминированной системы имеется два сосуществующих устойчивых равновесия. Под воздействием случайных возмущений решения стохастической системы начинают переходить из окрестности одного равновесия в окрестность другого. Такие индуцированные шумом случайные колебания интерпретируются как стохастический цикл. Увеличение аддитивного шума уменьшает время нахождения случайных траекторий в окрестности одного равновесия и увеличивает частоту перехода от одного равновесия к другому. Тр). В точке < = у/2д происходит качественное изменение динамики системы. В стохастической системе при увеличении интенсивности мультипликативного шума в форма графика функции плотности р{%) меняется от бимодальной к унимодальной и это интерпретируется как обратная стохастическая бифуркация. В разделе 1. Хопфа (мягкий и жесткий режимы) в форме Стратоновича. В разделе 1. Г (1х = (ДО,' — у — (х2 4 у2)х)йь + <7Х о (1и) + ( О I бу = (х 4 НУ — (х2 4 у2)у)& 4 ( у о бь) 4 < о бъиз. При значении параметра д < 0 единственным аттрактором детерминированной системы является устойчивая точка покоя (0,0). Увеличение аддитивного шума приводит к увеличению разброса случайных траекторий системы Хопфа вокруг детерминированных аттракторов (т. Таким образом, в отсутствие параметрических шумов точка бифуркации детерминированной системы является одновременно точкой бифуркации системы с аддитивными помехами. Как видим, аддитивный шум не меняет расположения точек бифуркации. Присутствие невырожденного мультипликативного шума (од ^ 0) изменяет точку бифуркации от /х = 0 (для детерминированной системы) к Ц/ = <у (для стохастической). Увеличение интенсивности < приводит к перераспределению концентрации возмущенных траекторий от предельного цикла к точке покоя. Подробно описан эффект обратной стохастической бифуркации, построена бифуркационная диаграмма стохастической системы. Раздел 1. При значении параметра /х < — 1 единственным аттрактором детерминированной системы является устойчивая точка покоя (0,0). При /х.