Вэйвлеты (всплески) ненулевой высоты

• Автор: Ле Тхи Ни Бик
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 112 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Некоторые понятия и результаты

1.1 Основная идея вэйвлетного преобразования

1.2 Вэйвлеты

1.3 Пространства основных функций. Кратномасштабные соотношения

1.4 Ортогональность вэйвлетных пространств

1.5 Формулы декомпозиции и реконструкции

1.6 О многообразии вэйвлетных систем

1.7 Некоторые подходы к построению вэйвлстов

1.8 Вэйвлетное разложение пространств сплайнов эрмитова типа первой высоты

1.8.1 Сплайн эрмитова типа .
1.8.2 Калибровочные соотношения.
1.8.3 Биортошнальная система функционалов и их значения на функциях с
1.8.4 Веплесковое разложение
2 Вэйвлетное разложение сплайнов эрмитова типа
2.1 Вэйвлетное разложение сплайнов эрмитова типа второй
высоты
2.1.1 Построение сплайнов эрмитова типа второй высоты
2.1.2 Калибровочные соотношения.
2.1.3 Биортогональной системы функционалов и их значения на функциях .
2.1.4 Вэйвлетное разложение. Формулы декомпозиции и
реконструкции.
2.2 Вэйвлетное разложение сплайнов эрмитова типа третьей
высоты
2.2.1 Минимальные сплайны эрмитова типа третьей высоты .
2.2.2 Калибровочные соотношения.
2.2.3 Биортогональная система функционалов и их значения на функциях ЩЬ
2.21 Всплесковое разложение. Формулы декомпозиции и
реконструкции
2.3 Вэйнлетное разложение сплайнов эрмитова типа при замене производной на разности
2.3.1 Сплайн эрмитова типа при замене производных па
разности.
2.3.2 Калибровочные соотношения.
2.3.3 Биортогональная система функционалов и их значения па функциях
2.3.4 Вэйвлетное разложение. Формулы декомпозиции и
реконструкции
2.4 Оценка устойчивости и аппроксимации
2.4.1 Оценка устойчивости.
2.4.2 Оценка аппроксимации .
3 Вэйвлетное разложение для модельных задач
3.1 Потоки числовой информации, сигналы, сеточные функции и вэйвлетные разложения
3.2 Формулы декомпозиции и реконструкции.
3.2.1 Формулы декомпозиции
3.2.2 Формулы реконструкции
3.3 Вычисление значений 50 в формулах декомпозиции и
реконструкции
3.4 Описание программы
3.5 Численные результаты.
Заключение
Литература


Силайн-вэйвлетные разложения для потоков, определяемых гладкими (и дифференцируемыми) функциями, обладают свойствами асимптотической оптимальности по /V-поперечнику аппроксимируемых компактов и простотой формул декомпозиции и реконструкции; возможность использовать неравномерную сетку и неиолиномиальные сплайны (см. Разработке сплайн-вэйвлетпого разложения эрмитова типа первой высоты была посвящена работа Ю. К. Демьяновича и А. В. Зимина (см. В данной работе разрабатывается сил айн-вэйвлетное разложение эрмитова типа второй и третьей высоты (это весьма важно для качественной аппроксимации); полученные здесь теоретические результаты проиллюстрированы на модельных примерах. Привести формулы оценки устойчивости и аппроксимации. Провести практическую апробацию полученных результатов на модельных задачах. Методы исааедования. В диссертации используются методы линейной алгебры и функционого анализа. Для построений применен метод апроксимационных соотношений. Достоверность и обоснованность. Достоверность результатов подтверждена строгими доказательствами; результаты согласуются с проведенными практическими экспериментами. Основные результаты. Получено сплайи-вэйвлетное разложение эрмитова типа второй высоты для весьма произвольных генерирующих дважды непрерывно дифференцируемых функций. Полученные базисные вэйвлеты дважды непрерывно дифференцируемы и имеют компактный носитель, причем добавление одного узла ведет к увеличению размерности вэйвлетного пространства на три единицы. Выводятся новые формулы декомпозиции и реконструкции. Получено сплайн-вэйвлетное разложение эрмитова тина третьей высоты для весьма произвольных генерирующих трижды непрерывно дифференцируемых функций. Полученные базисные вэйвлеты трижды непрерывно дифференцируемы- и имеют компактный носитель, причем добавление одного узла ведет к увеличению размерности вэйвлетного пространства на четыре единицы. Здесь также установовлеиы формулы декомпозиции и реконструкции. Получено сплайн-вэйвлетное разложение эрмитова тина при замене производной на разности для весьма произвольных гладких функций. Полученные базисные вэйвлеты непрерывны, имеют компактный носитель, причем добавление двух узлов ведет к увеличению размерности вэйвлетного пространства на две единицы. Здесь также установлены новые формулы декомпозиции и реконструкции, основанные на замене производных разностными отношениями. Доказан ряд теорем, связанных с построением новых вэйвлетных разложений и созданием формул декомпозиции и реконструкции. Написана программа для апробации теоретических результатов на некоторых модельных задачах. Полученные численные эксперименты согласуются с заданной теорией (малая погрешность вычислений происходит из-за ошибок округления). Научная новизна. Все основные научные результаты диссертации являются новыми. Теоретическая ценность и практическая значимость. Теоретическая ценность работы состоит в обогащении теории в области обработки больших числовых массивов информации с помошью вэйвленого разложения. Полученные результаты могут быть применены для создания эффективных алгоритмов решения многих прикладных задач, связанных с обработкой больших числовых массивов информации, в часности к обработке изображений и к задачам аппроксимации. Апробация работы. Полученные результаты обсуждались на семинарах кафедры параллельных алгоритмов (-Юг. ХЬ и ХЫ Международной научной конференции "Процессы управления и устойчивость", С-Петербург, 6-9 апреля и 5-8 апреля , и на XVI Всероссийской научно-методической конференции "Телематика" , С-Петербург, - июня . Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах [ -]. Из них два публикации [], [] в журналах из перечня ВАК. Работы [], [], [] написаны в соавторстве. В работах [-] Ю. К.Демьяновичу принадлежат постановки задач вэйвлетного разложения сплайнов эрмитова типа второй, третьей высоты, и вэйвлетного разложения сплайнов эрмитова типа при замене производных на разности, а Т. Н.Б. Ле принадлежит решение поставленных задач: построение вэйвлетного разложения и вывод формул декомпозиции/реконструкции.