Математическое моделирование процессов фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости на параллельных вычислительных системах

• Автор: Попов, Павел Евгеньевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 118 с. : ил.

Оглавление
Введение

Глава 1 Уравнения фильтрации двухфазной жидкости

1.1 Математическая постановка задачи

1.1.1 Основные физические параметры

1.1.2 Уравнения неразрывности и закон Дарси.

1.1.3 Капиллярное давление

1.1.4 Система, как уравнения первого порядка

1.1.5 Краевые условия.

1.2 Смешанная обобщенная формулировка

Глава 2 Численное решение задачи

2.1 Пространственная аппроксимация.
2.1.1 Элементы Ш0, двумерная задача
2.1.2 Элементы ЯТ0, трехмерная задача.
2.1.3 Итоговая сеточная задача
2.2 Интегрирование по времени
2.2.1 Явная схема предикторкорректор.
2.2.2 Алгоритм решения задачи фильтрации
2.2.3 Выполнение интегрального баланса
I
2.3 Решение седловой задачи
2.3.1 Свойства СЛАУ .
2.3.2 Переобусловленный метод сопряженных градиентов
2.4 Построение переобуславливателя
2.4.1 Решение одномерной спектральной задачи
2.4.2 Двумерный случай.
2.4.3 Трехмерный случай
2.4.4 Сравнение со стандартным оператором Лапласа . .
Глава 3 Моделирование процесса фильтрации
3.1 Моделирование скважин.
3.2 Двумерная задача
3.2.1 Сходимость.
3.2.2 Плановая задача
3.2.3 Вертикальная задача
3.3 Трехмерная задача.
3.3.1 Сходимость.
3.3.2 Примеры скважин
3.4 Влияние капиллярного давления.
Глава 4 Параллелизация алгоритма
4.1 Двумерный случай
4.1.1 Распределение данных по процессам
4.1.2 Реализация алгоритма.
4.1.3 Результаты ускорения вычислений
4.1.4 Архитектуры с распределенной и общей памятью .
4.2 Трехмерный случай.
4.2.1 Распределение данных по процессам.
4.2.2 Реализация алгоритма
4.2.3 Результаты ускорения вычислений
4.2.4 Сетевой закон Амдала
Заключение
Литература


Н. Антонцева, A. B. Кажихова и В. Н. Монахова [4], приводит модель к вырождающейся системе дифференциальных уравнений. Последнее порождает сложности как при постановке граничных условий, так и при численной реализации модели. Этот анализ подробно проведен А. Н. Коноваловым в []. В данной работе, разработан подход, в котором модель Маскета-Леверетта формулируется в смешанной обобщенной постановке (см. В такой постановке отсутствует проблема вырождаемости краевых условий для насыщенности: в смешанной постановке для насыщенности не требуется задавать какие-либо краевые условия. При этом конструкция функций фазовых проницаемостей такова, что в любой момент времени уравнения для суммарной скорости и давления удовлетворяют условию коэрцитивности на множестве соленоидальных функций. Отмстим, что смешанная формулировка для поиска скорости и давления использовалась в ряде работ Р. Ювинга с соавторами (см. В отличие от [] в данной работе рассматривается полная смешанная постановка, ключом к которой является представление всех пространственных производных от векторных полей только как дивергенций искомых функций. Равьяра-Тома [] не возникает проблем с описанием фронта насыщенности благодаря наличию в модели капиллярной диффузии. Изучаемое явление было бы не полным без моделирования нагнетательных и добывающих скважин. Очень часто число узлов густой сетки возле прискважинного пространства не меньше числа узлов грубой сетки всей задачи. В нашем случае, отсутствие вырождаемости краевых условий дает корректную математическую постановку и при переходе к численной модели не требует сгущать сетку возле каждой скважины, что позволяет уменьшить число узлов сетки. Еще одной проблемой является то, что диаметр скважины во многих работах должен быть соизмерим с шагом сетки. Эго, в свою очередь, требует введения очень мелкой сетки и использования неявных схем по времени. Согласно работе Ю. М. Лаевского [] скважины можно моделировать в виде задания граничных условий не на самих скважинах, а на границах ячеек, внутри которых они расположены. Предложенный способ позволяет избежать использование неявных схем по времени, численное решение которых является достаточно трудоемким процессом. Но в рамках вычислительного эксперимента совершенно недостаточно иметь просто корректную математическую модель. Последняя должна допускать численную реализацию. Выбор оптимального численного алгоритма немыслим без конкретных характеристик вычислительных систем, на которых решается задача. В результате активного развития вычислительной техники производительность существующих на данный момент многопроцессорных систем измеряется уже сотнями терафлопс. Попытки выполнения обычных последовательных алгоритмов на параллельных вычислительных системах во многих случаях не приводят к повышению быстродействия. Для реального уменьшения времени решения задач требуется применение специальных параллельных вычислительных алгоритмов, учитывающих архитектурные особенности многопроцессорных кластерных систем. Большое количество процессов требует высокой степени масштабируемости (scalable) алгоритма, многоядерные узлы - особенного внимания к оптимизации доступа к памяти. Передача данных между узлами должна осуществляться с использованием сетевых карт, которые имеют низкую задержку (latency) и высокую пропускную способность (throughput) и происходить без участия операционной системы. В этом случае исключается участие CPU в обработке кода переноса и необходимость пересылки данных из памяти приложения в буферную область ОС, то есть данные пересылаются напрямую на соответствующий сетевой контроллер. В настоящее время ног доступных пакетов, обеспечивающих использование терафлопных вычислительных систем для решения задач совместной фильтраций несмешивающихся жидкостей. Статьи в соавтор стве Б. Н. Четверушкина [, , . В них приведен алгоритм распределенной обработки глобальной информации и модельные примеры. Однако в этих работах не были представлены методы реализации и результаты по распараллеливанию. В работе В.