Построение дискретных аналогов и разработка методов решения конечноэлементных систем уравнений при моделировании гармонических электромагнитных полей

• Автор: Домников, Петр Александрович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 191 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение .
Глава 1. Математические модели гармонических электромагнитных полей с использованием МКЭ.
1.1. Математическое моделирование электромагнитных полей в задачах геоэлектромагнетизма.

1.2. Задачи магнитотеллурических зондирований

1.3. Математические модели с выделением поля вмещающей среды.

1.4. Эквивалентные вариационные постановки.

1.5. Выводы
Глава 2. Построение дискретных аналогов и разработка методов решении конечноэлементных СЛАУ.

2.1. Построение дискретных аналогов в узловом МКЭ

2.2. Методы решения конечноэлементных СЛАУ, возникающих при использовании узлового МКЭ.
2.3. Метод минимизации невязки с использованием блочной релаксации
2.4. Построение дискретного аналога для постановки с одним векторпотенциалом в векторном МКЭ
2.5. Построение дискретного аналога для вариационной постановки с введением градиента скалярного потенциала
2.6. Построение дискретных аналогов с применением метода деревьевкодеревьев.
2.7. Методы решения конечноэлементных СЛАУ, возникающих при использовании векторного МКЭ.
2.8. Выводы
Глава 3. Описание программного комплекса ЭРМТЗ
3.1. Назначение и общая структура программного комплекса.
3.2. Описание основных программных модулей.
3.3. Описание модулей решения СЛАУ.
3.4. Модуль оптимизации размеров расчетной области
3.5. Верификация программного комплекса.
3.6. Выводы.
Глава 4. Результаты вычислительных экспериментов
4.1. Исследование времени решения СЛАУ в зависимости от частоты поля и проводимости среды
4.2. Сравнение производительности разработанных подпрограмм с библиотекой математических функций I .
4.3. Компьютерная реализация методов решения СЛАУ в многоядерных системах.
4.4. Применение алгоритма подбора размера расчетной области.
4.5. Применение метода деревьевкодеревьев и постановки с совместным использованием скалярного и векторного потенциалов в векторном МКЭ.
4.6. Применение разработанных методов для решения практических задач магнитотеллурических зондирований на площадях Восточной Сибири и Дальнего Востока.
4.7. Решение конечноэлементных СЛАУ в трехмерных задачах с источником в виде горизонтальной электрической линии
4.8. Решение конечноэлементных СЛАУ в трехмерных задачах аэроэлектроразведки
4.9. Выводы.
Заключение
Список использованных источников


Это связано с тем, что аппроксимация задачи по методу интегральных уравнений приводит к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с плотной матрицей, и с ростом аномальной области размерность этой СЛАУ с плотной матрицей быстро увеличивается. Поэтому основной проблемой становится поиск эффективного метода решения такого рода СЛАУ. В настоящее время МИУ продолжает (хотя уже не так активно) развиваться, и различные подходы к его усовершенствованию рассматриваются, например, в работах [1,4, , , , , , , ]. Таким образом, с ростом в геоэлектрической модели числа трехмерных неоднородностей (что необходимо для описания реальных сред) МИУ начинает существенно уступать по вычислительной эффективности таким сеточным методам, как МКР (включая и метод конечных объемов, который часто относят к классу конечно-разностных методов) [, , , , , , , , , ] и МКЭ [, , , , , ], которые основаны на аппроксимациях дифференциальных уравнений в частных производных. МКЭ при решении трехмерных задач геоэлектрики. Позднее эта схема была независимо предложена в работах зарубежных исследователей [8,]. Далее проведем краткий обзор работ, посвященных моделированию трехмерных гармонических по времени геоэлектромагнитных полей. В [8] используется узловой метод конечных элементов в постановке с двумя потенциалами (1. В качестве источника поля выступает круговая петля с током. Используются линейные скалярные базисные функции на тетраэдрах. Сравниваются результаты проведенного конечноэлементного моделирования с конечно-разностным ЗО-моделированием, 1D аналитическим расчетами и 2D гибридным моделированием. Однако вычислительные затраты, требуемые для решения одной и той же задачи вышеперечисленными методами, к сожалению, не приводятся. В научной литературе система уравнений (1. A,V) также обозначается как (Ау4/)-постановка. Например, в [] данная система уравнений использовалась для конечноэлементного моделирования трехмерного электромагнитного поля от круговой петли с током. Использовались линейные скалярные базисные функции на тетраэдрах. Было проведено сравнение результатов конечноэлементного моделирования с конечноразностным 3D-моделированием, 1D аналитическим расчетами и 2D гибридным моделированием. Однако вычислительные затраты, требуемые для решения одной и той же задачи вышеперечисленными методами, в работе [] не приведены. Система уравнений (1. В [] проводится моделирование методом конечных разностей. Авторами [] разработан подход (Spectral Lancoz Decomposition Method - SLDM), позволяющий с небольшими вычислительными затратами выполнить расчет электромагнитного поля для диапазона частот. ЫЭМ существенно замедляется с увеличением частоты поля. В [] аналогичный подход был применен для моделирования векторным методом конечных элементов трехмерного электромагнитного поля в диапазоне частот - кГц. В [] проводится конечноэлементное моделирование трехмерного поля в скважине с использованием иерархических векторных базисных функций на шестигранниках. Авторами используется выделение источника в однородном пространстве. В [] используется постановка с совместным использованием скалярного и векторного потенциалов. В [] уравнение (1. Авторами [] исследуется влияние топографических эффектов при использовании магнитотеллурических зондирований. Источник в правой части уравнения (1. При этом в работе приводятся результаты моделирования только для двух частот (2 Гц и Гц) для достаточно простых моделей, не исследуется влияние изменений коэффициентов уравнения (1. Кроме того, используемые авторами шестигранные сетки в силу своей регулярности для сложных трехмерных моделей (содержащих большое число трехмерных неоднородностей) и на низких частотах (где требования к размерам области соответственно увеличиваются) будут очень большими, что также будет приводить к существенному росту вычислительных затрат. В [] также проводится моделирование трехмерных магнитотеллурических полей векторным методом конечных элементов, но для уравнения, записанного для напряженности электрического поля Ё. В [] также решается задача моделирования трехмерного магнитотеллурического поля векторным методом конечных элементов, но в отличие от [] -на тетраэдральных сетках.