Вычислительные алгоритмы для задач однофазной и двухфазной фильтрации на основе схемы КАБАРЕ

• Автор: Канаев, Антон Андреевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 165 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава 1. Модификация конвективных потоков в схеме КАБАРЕ для одномерных нелинейных скалярных гиперболических уравнений

1.1 Схема КАБАРЕ для простейшего линейного уравнения переноса

1.2 Проблема переключения потоков в схеме КАБАРЕ.

1.3 Обобщение схемы КАБАРЕ на случай нелинейных потоков

1.4 Частная задача Римана для уравнения с выпуклыми потоками.

1.5 Форма представления оператора Римана, не опирающаяся на

свойство дифференцируемости функции потока

1.6 Процедура согласования начальных значений консервативных и потоковых переменных и оператор переключения потоковых переменных

1.7 Невыпуклые функции потоков. Принцип минимума парциальной

локальной вариации
1.8 Одномерные квазилинейные уравнения с произвольными потоками. Примеры расчетов
Глава 2. Одномерные модели двухфазной и однофазной фильтрации в зоне неполного влагонасыщения.
2.1 Постановка задачи о просачивании влаги в зоне аэрации
2.2 Одномерное двухфазное просачивание.
на основе схемы КАБАРЕ, и был сформулирован принцип минимума парциальных локальных вариаций для определения конвективных потоков при численном решении одномерных нелинейных скалярных гиперболических уравнений
2.3 Просачивание влаги в пустую пористую среду.
2.4 Скалярный закон сохранения с функцией потоков, зависящей от
координат
2.5 Алгоритм учета удерживающих связей.
2.6 Задача о просачивании жидкости в пустую заполненную вакуумом пористую среду с учетом капиллярных сил.
Глава 3. Двумерные модели двухфазной и однофазной фильтрации в зоне неполного влагонасыщения
3.1 Прецизионный явнонеявный алгоритм для решения системы двумерных уравнений ЛавереттаБакли с использованием схемы КАБАРЕ
3.2 Тестовая задача о дифракции фронта вытеснения воды нефти газом на непроницаемой трещине
3.3 Обобщение однофазного приближения теории просачивания на многомерный случай
3.4 Протекание по двумерным перколяционным решеткам.
Гидростатическое приближение
Заключение.
Список литературы


В простейшем случае она сводилась к тому, что направление экстраполяции потоковых переменных ( из «левого нижнего угла ячейки в правый верхний» или «из правого нижнего - в левый верхний») выбиралось в зависимости от направления скорости звука в центре расчетной ячейки. Для выпуклых функций такой алгоритм приводил к хорошим результатам. Однако, для невыпуклого потока Лаверетта-Бакли дела обстояли не столь благополучно - при распаде разрыва на волну разрежения и ударную волну параметры последней не выходили на энтропийное решение. Для улучшения ситуации было предложено использовать в каждой расчетной ячейке анализатор эволюционности разрыва. В работах Головизнина В. М. и Кобринского И. М. описана реализация этой идеи, которая привела к удовлетворительным результатам при решении уравнения Лаверетта-Бакли, однако в более сложных случаях проблемы все еще оставались. Это и послужило основанием для разработки нового универсального подхода, представленного в первой главе. Поскольку скорость звука для невыпуклых функций перестает быть надежным ориентиром для выбора направления диагональной экстраполяции, то последнюю предлагается проводить в обоих направлениях, и результаты корректировать в соответствии с принципом максимума. Для каждого расчетного узла на новом временном слое, таким образом, будет получено два разных значения потоковой переменной - одно со стороны левой прилегающей ячейки, которое будем обозначать как и1^, другое со стороны правой ячейки - и'^. При построении разностных схем высокой разрешающей способности, таких как ТУ1_) и ТУВ решение о выборе численных потоков выбираются из анализа их влияния на полную вариацию решения. В первом случае численные потоки выбираются из условия уменьшения полной вариации, во втором - из условия ограниченности ее роста. Этот хорошо зарекомендовавший себя подход положен в основу выбора численного потока и в настоящей работе. Рассматривается локальная вариация консервативных переменных на промежуточном временном слое, прилегающих к данному узлу расчетной сетки 1. Сформулированный подход к определению численного потока назван «принципом парциального минимума локальных вариаций». Далее определяется выражение для искомого значения численного потока Н(Х (а,Ь), представляющее собой модификацию известного потока Годунова. На примере многочисленных тестовых расчетов показано, что модифицированные потоки Годунова приводят к энтропийным решениям как при выпуклых, так и при невыпуклых функциях Г(н). Лаверетта-Бакли, /-’(«) = б1п(«) , Р(и) = |(и — 1) —1 и др. Вторая глава диссертации посвящена некоторым математическим вопросам, возникающим при численном решении уравнения просачивания влаги в сильно неоднородных геологических формациях. Такая постановка приводит к системе из двух уравнений Лаверетта-Бакли, описывающих баланс каждой фазы. В случае, когда второй фазой является нефть, система уравнений Лаверетта-Бакли достаточно хорошо изучена и широко применяется на практике. Плотности и подвижности воды и нефти относительно близки, поэтому трудностей принципиального характера при численном решении этих уравнений не возникает, либо они достаточно легко преодолеваются. Иное дело, когда второй фазой является воздух или газ, отличающийся по этим параметрам от воды на несколько порядков. Следует особо подчеркнуть, что основные вычислительные проблемы вызывают т. Рассмотрим задачу об одномерном просачивании в грунт при резких разрывах коэффициента проницаемости (сильно контрастных геологических средах). Показано что для одномерного случая задача сводится к решению одного квазилинейного гиперболического уравнения, рассматриваемого в первой главе без каких либо дополнительных связей. По схеме, предложенной в первой главе, проведены численные расчеты модельной задачи при разных соотношениях подвижностей воздуха и воды. В ячейках, где влагонасыщенность приближается к единице, возникает проблема резкого уменьшения шага по времени для получения устойчивых результатов, и, соответственно, увеличения расчетного времени.